Reparametrize a curva pelo comprimento de arco a partir do ponto onde t=0 na direção crescente de t.
(b) r(t)=(cos ^3(t), sin ^3(t)).

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a curva vec r(t)=(cos^3t,sin^3t) pelo comprimento de arco s medido a partir de t=0 no sentido de t crescente. O conteúdo usado será o cálculo do vetor velocidade vec r,'(t), do seu módulo |vec r,'(t)| (a velocidade escalar) e da integral
s(t)=integral0^t|vec r,'(u)|,du,
seguido da inversão t=t(s) para escrever vec r em função de s.

Passo 2

Calculamos o vetor velocidade:
vec r,'(t) =l(-3cos^2tsin t,;3sin^2tcos tr)

Passo 3

O módulo da velocidade é
|vec r,'(t)| =raiz(-3cos^2tsin t)^2+(3sin^2tcos t)^2 =3raizcos^4t,sin^2t+sin^4t,cos^2t =3,|cos t,sin t|
Para assegurar que s cresce com t, restrigimos t ao intervalo onde cos tsin t>=0, por exemplo 0<= t<=pi2, de modo que
|vec r,'(t)|=3cos t,sin t

Passo 4

Integramos para obter s(t):
s(t)=integral0^t3cos u,sin u,du =3integral0^t12sin^2u' ,du =32sin^2t

Passo 5

Invertendo a relação s=tfrac32sin^2t, temos
sin^2t=23s, sin t=raiz2s3, cos t=raiz1-2s3,
válido para 0<= s<=tfrac32.

Passo 6

Finalmente, substituímos t=t(s) em vec r(t):
vec r(s) =l(cos^3t(s),;sin^3t(s)r) =l(l(1-tfrac2s3r)^tfrac32,; l(tfrac2s3r)^tfrac32r),
com 0<= s<=tfrac32.

Resposta

boxed vec r(s) =l(l(1-tfrac2s3r)^3/2,; l(tfrac2s3r)^3/2r), 0<= s<=tfrac32

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