Reparametrize a curva
r(t)=2 t i+(1-3 t) j+(5+4 t) k
a partir do ponto (2,1,5) na direçĩo de t crescente.

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a reta dada por r(t)=2t i+(1−3t) j+(5+4t) k de modo que o novo parâmetro comece no ponto (2,1,5) e siga a mesma direção de t crescente. Vamos precisar reconhecer que essa curva é uma reta e extrair seu vetor direção.

Passo 2

Como r(t) é linear em t, sua derivada dá o vetor direção constante da reta. Calculamos r′(t):
r'(t)=ddtl(2t,i+(1-3t),j+(5+4t),kr)=2,i-3,j+4,k

Passo 3

Para reparametrizar começando em (2,1,5), usamos a fórmula ponto–direção para retas: se P₀=(2,1,5) e v=(2,−3,4), então a nova parametrização R(s) = P₀ + s v gera uma reta passando por P₀ e com direção v, e quanto maior s, mais acompanhamos o sentido de t crescente.

Passo 4

Escrevendo em componentes, a reparametrização fica:
R(s)=(2,1,5)+s(2,-3,4)=(2+2s),i+(1-3s),j+(5+4s),k

Resposta

R(s)=(2+2s),i+(1-3s),j+(5+4s),k

Exercícios relacionados