Use o método de separação de variáveis para obter solução da equação
partial upartial x=partialpartial y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de primeira ordem partial upartial x=partial upartial y usando o método de separação de variáveis. O conteúdo aqui é PDE de primeira ordem e vamos usar separação de variáveis e raciocínio de características.

Passo 2

A ideia de separação de variáveis consiste em supor que u(x,y) se escreva como produto de funções univariadas: u(x,y)=X(x),Y(y). Substituindo na PDE, temos
partial upartial x=X'(x),Y(y),
partial upartial y=X(x),Y'(y)
Logo a equação fica
$$
X’(x),Y(y)=X(x),Y’(y).
$$

Passo 3

Agora dividimos ambos os lados por X(x)Y(y), assumindo que nenhuma das funções seja nula, para isolar variáveis:
X'(x)X(x)=Y'(y)Y(y)
Como o membro esquerdo depende só de x e o direito só de y, ambos devem ser iguais a uma mesma constante lambda. Assim obtemos dois ODEs:
X'(x)X(x)=lambda,Y'(y)Y(y)=lambda
Cada ODE é de coeficientes constantes. Integrando:
X(x)=A,e^lambda x, Y(y)=B,e^lambda y,

Passo 4

onde A e B são constantes de integração. Então o produto dá
nu(x,y)=X(x)Y(y)=C,e^lambda(x+y),
com C=AB. Como lambda e C são parâmetros livres, a combinação linear (ou integral) desses modos exponenciais gera a solução geral. Isto nos leva a concluir que a forma geral da solução é uma função arbitrária de x+y.

Resposta

A solução geral é
u(x,y)=F(x+y),
onde F é uma função arbitrária de uma variável.

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