Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
(h) sumn=1^infty e^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série sumn=1^infty e^nn^2 e precisa determinar se ela é absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar um teste de convergência apropriado. Precisamos entender conceitos de séries infinitas, convergência e as diferentes ferramentas que temos para analisar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a série: sumn=1^infty e^nn^2. O termo geral é e^nn^2. Notamos que e^n cresce muito rápido conforme n aumenta, enquanto n^2 cresce mais devagar. Isso já dá um indício, mas vamos aplicar um teste para ter certeza.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é útil para séries com termos envolvidos em exponenciais ou fatoriais. Esse teste diz que, para a série sum an, se limn to infty | an+1an | = L:
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos an = e^nn^2. Então:
an+1an = e^n+1(n+1)^2e^nn^2 = e^n+1 cdot n^2e^n cdot (n+1)^2 = e cdot ( nn+1 )^2

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty e cdot ( nn+1 )^2 = e cdot ( limn to infty nn+1 )^2 = e cdot (1)^2 = e
Como e approx 2.718 > 1, de acordo com o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty e^nn^2 diverge.

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