Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série e precisa determinar se ela é absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar um teste de convergência apropriado. Precisamos entender conceitos de séries infinitas, convergência e as diferentes ferramentas que temos para analisar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a série: . O termo geral é . Notamos que cresce muito rápido conforme aumenta, enquanto cresce mais devagar. Isso já dá um indício, mas vamos aplicar um teste para ter certeza.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é útil para séries com termos envolvidos em exponenciais ou fatoriais. Esse teste diz que, para a série , se :
Se L < 1, a série converge absolutamente.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos an = e^nn^2. Então: