Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde t=0 na direção crescente de t.
r(t)=2 t imath+(1-3 t) jmath+(5+4 t) k ; Resposta: r(s raiz2929)=2 s raiz2929 imath+(1-3 s raiz2929) jmath+(5+4 s raiz2929) k

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a curva
vec r(t)=2t,vecimath+(1-3t),vecjmath+(5+4t),vec k
de modo que o novo parâmetro s seja o comprimento de arco medido a partir de t=0, na direção crescente de t. Para isso vamos usar a definição de comprimento de arco e a reparametrização de uma curva pelo seu arco.

Passo 2

Calculamos a velocidade e seu módulo.
vec r,'(t) = ddtl(2t,,1-3t,,5+4tr) = (2,,-3,,4)
O comprimento da velocidade (rapidez) é
|vec r,'(t)| = raiz2^2 + (-3)^2 +4^2 = raiz4+9+16 = raiz29

Passo 3

O comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t) = integral0^t |vec r,'(u)|,du = integral0^t raiz29,du = raiz29,t

Passo 4

Invertendo a relação s = raiz29,t, obtemos
t = sraiz29 = sraiz2929

Passo 5

Substituímos t = tfracsraiz2929 em vec r(t):
vec r!l(tfracsraiz2929r) =2sraiz2929,vecimath +l(1-3sraiz2929r),vecjmath +l(5+4sraiz2929r),vec k

Resposta

boxed vec r(s) =2sraiz2929,vecimath +l(1-3sraiz2929r),vecjmath +l(5+4sraiz2929r),vec k

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