Se [w] denota o maior inteiro menor ou igual a w, calcule a integral
integral duplaR[x+y] d A
onde R=(x, y) in R^2 ; 1 <= x <= 3,2 <= y <= 5.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla integral duplaR [x+y] ,dA, onde [w] é a função piso (maior inteiro ≤ w) e R é o retângulo 1<= x<=3,;2<= y<=5. Vamos usar que ao integrar a função piso é conveniente particionar R em regiões onde x+y fica num mesmo intervalo [k,k+1).

Passo 2

A função [x+y] só pode assumir os valores inteiros de 3 a 7, pois em R temos 3<= x+y<=8. Para cada inteiro k=3,4,5,6,7, definimos
Rk=(x,y)in R:;k<= x+y
e a contribuição da região Rk à integral é
integral duplaRk[x+y],dA=kcdotArea(Rk)

Passo 3

Vamos calcular Area(Rk) para cada k:
  • Para k=3 e k=7, o conjunto Rk é um triângulo de vértices
    (1,2),(2,2),(1,3) quando k=3 e
    (3,5),(2,5),(3,4) quando k=7. Em ambos os casos Area(R3)=Area(R7)=tfrac12
    - Para k=4,5,6, cada Rk é um quadrilátero e pode-se calcular a área integrando em x. O resultado é
    Area(R4)=1.5,Area(R5)=2,Area(R6)=1.5

Passo 4

Somando as cinco contribuições, a integral total fica:
integral duplaR[x+y],dA =sumk=3^7kcdotArea(Rk) =3cdot0.5+4cdot1.5+5cdot2+6cdot1.5+7cdot0.5=30

Passo 5

Portanto, o valor da integral é 30.

Resposta

30

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