Se
denota o maior inteiro menor ou igual a
, calcule a integral
onde
.
Passo 1
O enunciado pede a integral dupla
, onde
é a função piso (maior inteiro ≤
) e
é o retângulo
. Vamos usar que ao integrar a função piso é conveniente particionar
em regiões onde
fica num mesmo intervalo
.
Passo 2
A função
só pode assumir os valores inteiros de
a
, pois em
temos
. Para cada inteiro
, definimos
e a contribuição da região
Passo 3
Vamos calcular
para cada
:
- Para
e , o conjunto é um triângulo de vértices
quando e
quando . Em ambos os casos
- Para, cada é um quadrilátero e pode-se calcular a área integrando em . O resultado é
Passo 4
Somando as cinco contribuições, a integral total fica:
Passo 5
Portanto, o valor da integral é 30.
Resposta
30