Reparametrize as curvas abaixo pelo comprimento de arco e determine seu comprimento.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente reparametrizar uma curva pelo comprimento de arco e também determinar o comprimento total dela. Estamos trabalhando com geometria de curvas aqui. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente o conceito de derivadas e integrais para encontrar o comprimento de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a curva que estamos lidando. A curva é dada por
onde
varia de
a
. Nosso objetivo é reescrever essa curva em termos do comprimento do arco, que geralmente chamamos de
.
Passo 3
Para reparametrizar a curva pelo comprimento de arco, precisamos encontrar a velocidade da curva, que é a norma da derivada de
. Vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a magnitude (ou norma) do vetor
, que nos dá a velocidade da curva:
Sabemos que
, então:
Então, a velocidade da curva é constante e igual a
.
Passo 5
O próximo passo é encontrar a função comprimento de arco
, que é a integral da velocidade em relação a
:
Isso significa que
.
Passo 6
Agora, vamos reparametrizar a curva pelo comprimento de arco. Precisamos expressar
em termos de
:
Substituindo isso na expressão original de
:
Então, essa é a curva reparametrizada pelo comprimento de arco.
Resposta
O comprimento total da curva de
a
é: