Reparametrize as curvas abaixo pelo comprimento de arco e determine seu comprimento.
alpha(t)=(sen t, t, 1-cos t) ; 0 <= t <= 2 pi;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente reparametrizar uma curva pelo comprimento de arco e também determinar o comprimento total dela. Estamos trabalhando com geometria de curvas aqui. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente o conceito de derivadas e integrais para encontrar o comprimento de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a curva que estamos lidando. A curva é dada por alpha(t) = (sin t, t, 1 - cos t) onde t varia de 0 a 2pi. Nosso objetivo é reescrever essa curva em termos do comprimento do arco, que geralmente chamamos de s.

Passo 3

Para reparametrizar a curva pelo comprimento de arco, precisamos encontrar a velocidade da curva, que é a norma da derivada de alpha(t). Vamos calcular a derivada de alpha(t):
alpha'(t) = (ddt sin t, ddt t, ddt (1 - cos t)) = (cos t, 1, sin t)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a magnitude (ou norma) do vetor alpha'(t), que nos dá a velocidade da curva:
|alpha'(t)| = raiz(cos t)^2 + (1)^2 + (sin t)^2 = raizcos^2 t + 1 + sin^2 t
Sabemos que cos^2 t + sin^2 t = 1, então:
|alpha'(t)| = raiz1 + 1 = raiz2
Então, a velocidade da curva é constante e igual a raiz2.

Passo 5

O próximo passo é encontrar a função comprimento de arco s(t), que é a integral da velocidade em relação a t:
s(t) = integral0^t |alpha'(tau)| dtau = integral0^t raiz2 , dtau = raiz2 cdot t
Isso significa que s = raiz2 cdot t.

Passo 6

Agora, vamos reparametrizar a curva pelo comprimento de arco. Precisamos expressar t em termos de s:
s = raiz2 cdot t implies t = sraiz2
Substituindo isso na expressão original de alpha(t):
alpha(s) = ( sin(sraiz2), sraiz2, 1 - cos(sraiz2) )
Então, essa é a curva reparametrizada pelo comprimento de arco.

Resposta

O comprimento total da curva de t = 0 a t = 2pi é:
s(2pi) = raiz2 cdot 2pi = 2raiz2pi

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