Reparametrize a hélice circular dada por sigma(t)=(cos (t), sen(t), t), com t >= 0, utilizando o comprimento de arco a partir do ponto P0(1,0,0) na direção de crescimento de t.

Passo 1

Neste exercício a gente tem a hélice circular sigma(t) = (cos t,; sin t,; t) para t>=0, e quer reparametrar usando o comprimento de arco s contado desde P0=(1,0,0). Vamos precisar calcular a velocidade da curva, integrar para achar s(t) e depois inverter essa relação.

Passo 2

Para achar a velocidade usamos derivada de sigma:
sigma'(t)=(-sin t,;cos t,;1)
A norma dessa derivada é
|sigma'(t)|=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+1^2=raizsin^2t+cos^2t+1=raiz2

Passo 3

O comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t)=integral0^t|sigma'(u)|,du=integral0^traiz2,du = traiz2
Isso serve para medir a distância ao longo da curva.

Passo 4

Agora invertendo essa relação, a gente encontra
t=sraiz2
Com isso já temos o parâmetro t em função de s e estamos prontos para escrever a reparametrização pelo comprimento de arco.

Resposta

A reparametrização pelo comprimento de arco s>=0 fica
alpha(s)=l(cos(tfracsraiz2),;sin(tfracsraiz2),;tfracsraiz2r)

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