2^{a} QUESTÃO - Utilize transformadas de Laplace para resolver o seguinte sistema de E.D.O.s:
\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}+3 x+\frac{d y}{d t}=1 \\ \frac{d x}{d t}-x+\frac{d y}{d t}-y=e^{t} \end{array} \quad, x(0)=0, \quad y(0)=0 .\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de E.D.O.s
\begin{cases} \frac{d x}{d t}+3x+\frac{d y}{d t}=1,\\\ \frac{d x}{d t}-x+\frac{d y}{d t}-y=e^{t}, \end{cases}
com condições iniciais x(0)=0, y(0)=0, usando transformadas de Laplace. Vamos usar que
\mathcal{L}\{\dot x\}(s)=sX(s)-x(0), \mathcal{L}\{1\}(s)=1/s e \mathcal{L}\{e^t\}(s)=1/(s-1).

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em cada equação e usando x(0)=y(0)=0, obtemos
sX(s)+3X(s)+sY(s)=\frac{1}{s},
sX(s)-X(s)+sY(s)-Y(s)=\frac{1}{s-1}.

Passo 3

Da segunda equação fatoramos (s-1):
(s-1)\bigl(X(s)+Y(s)\bigr)=\frac{1}{s-1} \quad\Longrightarrow\quad X(s)+Y(s)=\frac{1}{(s-1)^2}.
Isolando Y(s)=1/(s-1)^2 - X(s) e substituindo na primeira equação,
(s+3)X(s)+s\Bigl(\frac{1}{(s-1)^2}-X(s)\Bigr)=\frac{1}{s} \;\Longrightarrow\; 3X(s)=\frac{1}{s}-\frac{s}{(s-1)^2}.
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X(s)=\frac{1}{3}\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{s}{(s-1)^2}\Bigr).
Escrevendo \dfrac{s}{(s-1)^2}=\dfrac{1}{s-1}+\dfrac{1}{(s-1)^2}, temos
X(s)=\frac{1}{3s}-\frac{1}{3(s-1)}-\frac{1}{3(s-1)^2}.
Em seguida
Y(s)=\frac{1}{(s-1)^2}-X(s) =-\frac{1}{3s}+\frac{1}{3(s-1)}+\frac{4}{3(s-1)^2}.

Passo 4

Para inverter usamos
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1,
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-1}\}=e^t,
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s-1)^2}\}=t\,e^t.
Assim
x(t) =\frac{1}{3}\;-\frac{1}{3}e^t-\frac{1}{3}\,t\,e^t,
y(t) =-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}e^t+\frac{4}{3}\,t\,e^t.

Resposta

x(t)=\dfrac{1}{3}\bigl(1-e^t -t\,e^t\bigr),
y(t)=\dfrac{1}{3}\bigl(-1+e^t+4\,t\,e^t\bigr).

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