Questão 8: O paradoxo hidrostático
O Paradoxo Hidrostático: O nível da água é o mesmo, independentemente do formato do recipiente. Os pesos das porções de água que não estão diretamente acima do fundo de cada recipiente são equilibrados pelas laterais dos recipientes. A densidade do fluido é \rho e a aceleração da gravidade é g. Ignore a pressão do ar e calcule a força resultante exercida pelas laterais dos recipientes nos dois casos.
Considere o Caso 4: o recipiente possui formato cilíndrico; o raio inferior é r e tem altura h, e o raio superior é R (onde R>r ) com altura H.

Passo 1

O enunciado nos pede a força resultante que o fluido exerce nas paredes laterais de um recipiente composto por dois trechos cilíndricos verticais em continuidade: o trecho inferior de raio r e altura h e o trecho superior de raio R e altura H. Como a pressão hidrostática varia linearmente com a profundidade, vamos usar a fórmula da força lateral
F = \int_{\text{paredes}} p\,\mathrm{d}A
onde p(z)=\rho g z é a pressão a uma profundidade z medida a partir do nível livre.

Passo 2

Para uma seção cilíndrica de raio a e altura L, com z variando de z_1 a z_2, a área lateral elementar é \mathrm{d}A = 2\pi a\,\mathrm{d}z. Logo a força resultante nessa parede é
F(a;z_1\to z_2) = \int_{z_1}^{z_2} \rho g z \;\bigl(2\pi a\bigr)\,\mathrm{d}z = 2\pi a\,\rho g \int_{z_1}^{z_2} z\,\mathrm{d}z = \pi a\,\rho g\bigl(z_2^2 - z_1^2\bigr).

Passo 3

No trecho inferior temos a=r, z_1=0 e z_2=h. Assim
F_{\text{inf}} = \pi r\,\rho g\bigl(h^2 - 0^2\bigr) = \pi\,\rho g\,r\,h^2.

Passo 4

No trecho superior usamos a=R, z_1=h e z_2=h+H. Então
F_{\text{sup}} = \pi R\,\rho g\bigl[(h+H)^2 - h^2\bigr] = \pi\,\rho g\,R\bigl(2hH + H^2\bigr).

Passo 5

A força total nas paredes laterais é a soma das duas contribuições:
F_{\text{total}} = F_{\text{inf}} + F_{\text{sup}} = \pi\,\rho g\bigl(r\,h^2 + R\,(2hH + H^2)\bigr).

Resposta

F = \pi\,\rho g\bigl(r\,h^2 + 2R\,hH + R\,H^2\bigr).

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