Dada a forma adimensional da função de corrente, abaixo
Fazer os gráficos das linhas de corrente
para os instantes de tempo
e
, sabendo que
. Considere o domínio delimitado por
e
e os valores para
,
e
. Divida o domínio de interesse em no mínimo 16 partes iguais tanto na direção do eixo
como no eixo
.
para os instantes de tempo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer gráficos das linhas de corrente usando uma função dada para a corrente, que depende de
,
e
. A matéria aqui é de mecânica dos fluidos, especificamente sobre linhas de corrente. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como as linhas de corrente são definidas a partir da função de corrente
, além de saber manipular funções trigonométricas e gráficos. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função de corrente que a gente tem:
Os valores dados são:
,
,
,
,
e
. Vamos substituir esses valores na função para simplificar:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos entender o que são linhas de corrente. Linhas de corrente são curvas no campo de fluxo onde a função de corrente
é constante. Então, pra cada valor de
, teremos uma linha de corrente.
Para desenhar essas linhas, a gente vai fixar diferentes valores de
e resolver a equação
para obter a relação entre
e
que define a curva.
Passo 4
Vamos dividir o domínio
e
em pelo menos 16 partes iguais nas direções
e
. Isso significa que teremos uma grade com passos de
e
.
Passo 5
Vamos considerar os instantes de tempo
,
,
e
, onde
. Então:
Para cada um desses valores de
, vamos substituir na função
e calcular
na grade que criamos.
Passo 6
Vamos resolver
para cada instante de tempo. Rearranjando a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, para cada ponto da grade, vamos calcular
e verificar para quais pontos essa igualdade é satisfeita para diferentes valores de
. Isso nos dará as linhas de corrente.
Passo 7
Para simplificar a visualização, podemos escolher alguns valores de
(por exemplo,
,
, etc.) e plotar as correspondentes linhas onde
. Isso vai nos dar uma ideia das trajetórias das partículas do fluido em cada instante de tempo.
Passo 8
Usando um software de plotagem (como MATLAB, Python com Matplotlib, ou qualquer outro programa de gráficos), vamos:
- Criar a grade de pontos
e com os passos definidos. - Calcular
para cada instante de tempo. - Plotar as curvas onde
é constante para os valores escolhidos de .
Resposta
Seguindo esses passos, conseguimos gerar os gráficos das linhas de corrente para os instantes de tempo
,
,
e
, dentro do domínio especificado. Cada gráfico mostra como as linhas de corrente evoluem ao longo do tempo, refletindo o comportamento do fluxo definido pela função de corrente dada.