Dada a forma adimensional da função de corrente, abaixo
psi(x, y, t)=g Aomega sinh [k(y+h)]cosh (k h) cos (k x-omega t)
Fazer os gráficos das linhas de corrente
para os instantes de tempo t=T / 4, t=T / 2, t=3 T / 4 e t=T, sabendo que T=2 pi. Considere o domínio delimitado por 0 <= x <= 2 pi e 0 <= y <=-h e os valores para k=1, g=1,
A=1, h=pi / 2 e omega=1. Divida o domínio de interesse em no mínimo 16 partes iguais tanto na direção do eixo X como no eixo Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer gráficos das linhas de corrente usando uma função dada para a corrente, que depende de x, y e t. A matéria aqui é de mecânica dos fluidos, especificamente sobre linhas de corrente. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como as linhas de corrente são definidas a partir da função de corrente psi(x, y, t), além de saber manipular funções trigonométricas e gráficos. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função de corrente que a gente tem:
psi(x, y, t) = g Aomega sinh [k(y+h)]cosh (k h) cos (k x - omega t)
Os valores dados são: k = 1, g = 1, A = 1, h = pi2, omega = 1 e T = 2pi. Vamos substituir esses valores na função para simplificar:
psi(x, y, t) = 1 times 11 sinh [1 times (y + pi2)]cosh (1 times pi2) cos (1 times x - 1 times t)
Simplificando:
psi(x, y, t) = sinh (y + pi2)cosh (pi2) cos (x - t)

Passo 3

Agora, vamos entender o que são linhas de corrente. Linhas de corrente são curvas no campo de fluxo onde a função de corrente psi é constante. Então, pra cada valor de psi = C, teremos uma linha de corrente.
Para desenhar essas linhas, a gente vai fixar diferentes valores de C e resolver a equação psi(x, y, t) = C para obter a relação entre x e y que define a curva.

Passo 4

Vamos dividir o domínio 0 <= x <= 2pi e 0 <= y <= -pi2 em pelo menos 16 partes iguais nas direções x e y. Isso significa que teremos uma grade com passos de De e De.

Passo 5

Vamos considerar os instantes de tempo t = T4, t = T2, t = 3T4 e t = T, onde T = 2pi. Então:
  • t = 2pi4 = pi2
  • t = 2pi2 = pi
  • t = 3 times 2pi4 = 3pi2
  • t = 2pi
Para cada um desses valores de t, vamos substituir na função psi(x, y, t) e calcular psi na grade que criamos.

Passo 6

Vamos resolver psi(x, y, t) = C para cada instante de tempo. Rearranjando a equação:
sinh (y + pi2)cosh (pi2) cos (x - t) = C
Multiplicando ambos os lados por cosh (pi2):
sinh (y + pi2) cos (x - t) = C cosh (pi2)
Agora, para cada ponto da grade, vamos calcular psi e verificar para quais pontos essa igualdade é satisfeita para diferentes valores de C. Isso nos dará as linhas de corrente.

Passo 7

Para simplificar a visualização, podemos escolher alguns valores de C (por exemplo, C = 0, C = pm 12, etc.) e plotar as correspondentes linhas onde psi(x, y, t) = C. Isso vai nos dar uma ideia das trajetórias das partículas do fluido em cada instante de tempo.

Passo 8

Usando um software de plotagem (como MATLAB, Python com Matplotlib, ou qualquer outro programa de gráficos), vamos:
  1. Criar a grade de pontos x e y com os passos definidos.
  2. Calcular psi(x, y, t) para cada instante de tempo.
  3. Plotar as curvas onde psi(x, y, t) é constante para os valores escolhidos de C.

Resposta

Seguindo esses passos, conseguimos gerar os gráficos das linhas de corrente para os instantes de tempo t = T4, t = T2, t = 3T4 e t = T, dentro do domínio especificado. Cada gráfico mostra como as linhas de corrente evoluem ao longo do tempo, refletindo o comportamento do fluxo definido pela função de corrente dada.

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