Seja
a curva no plano
dada pela equação
. Seja
a região do plano
delimitada por
.
Obtenha a equação da curva
nas coordenadas polares
e
.
Obtenha a equação da curva
Passo 1
Então, pessoal, o que temos aqui é uma curva no plano
definida pela equação
. O objetivo é reescrever essa equação usando coordenadas polares, que são representadas por
(a distância do ponto até a origem) e
(o ângulo em relação ao eixo
). Para isso, vamos precisar lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
e
pelas suas equivalentes em coordenadas polares. Sabemos que:
E também que:
Substituindo esses valores na equação original:
Passo 3
Agora, simplificamos a equação. Sabemos que
(já que
é uma distância e, portanto, positiva). Então temos:
Podemos fatorar
:
Passo 4
Essa equação nos dá duas possibilidades: ou
ou
. Como
representa apenas o ponto de origem, vamos focar na segunda parte:
Isolando
:
Resposta
A equação da curva
nas coordenadas polares é: