Seja c a curva no plano x y dada pela equação x^2+y^2-2 x+raizx^2+y^2=0. Seja D a região do plano x y delimitada por c.
Obtenha a equação da curva c nas coordenadas polares r e theta.

Passo 1

Então, pessoal, o que temos aqui é uma curva no plano xy definida pela equação x^2 + y^2 - 2x + raizx^2 + y^2 = 0. O objetivo é reescrever essa equação usando coordenadas polares, que são representadas por r (a distância do ponto até a origem) e theta (o ângulo em relação ao eixo x). Para isso, vamos precisar lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x e y pelas suas equivalentes em coordenadas polares. Sabemos que:
x = r cos theta
y = r sin theta
E também que:
x^2 + y^2 = r^2
Substituindo esses valores na equação original:
r^2 - 2(r cos theta) + raizr^2 = 0

Passo 3

Agora, simplificamos a equação. Sabemos que raizr^2 = r (já que r é uma distância e, portanto, positiva). Então temos:
r^2 - 2r cos theta + r = 0
Podemos fatorar r:
r(r + 1 - 2 cos theta) = 0

Passo 4

Essa equação nos dá duas possibilidades: ou r = 0 ou r + 1 - 2 cos theta = 0. Como r = 0 representa apenas o ponto de origem, vamos focar na segunda parte:
r + 1 - 2 cos theta = 0
Isolando r:
r = 2 cos theta - 1

Resposta

A equação da curva c nas coordenadas polares é:
r = 2 cos theta - 1

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