Sejam A, B, C, D in R e considere o conjunto de ponto (x, y) in R^2 satisfazendo
A(x^2+y^2)+B x+C y+D=0
Esses conjuntos são chamados de círculos generalizados. Nesse exercício vamos mostrar que o mapa w=1z preserva círculos generalizados
Rescreva a equação 1 em coordenadas polares x=r cos (theta), y=r sen(theta).

Passo 1

A equação dada é a do círculo generalizado:
A(x² + y²) + Bx + Cy + D = 0.
O conteúdo envolve mudança para coordenadas polares, onde precisamos usar as relações entre (x,y) e (r,θ).

Passo 2

Em coordenadas polares temos as seguintes identidades:
x = r cos(θ),
y = r sen(θ),
além de
x² + y² = r².

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original:
A(r²) + B(r cos(θ)) + C(r sen(θ)) + D = 0,
que pode ser escrita como
A r² + Br cos(θ) + Cr sen(θ) + D = 0.

Resposta

A r² + Br cos(θ) + Cr sen(θ) + D = 0

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