Representar cada um dos valores abaixo, de forma exata, nos sistemas de ponto flutuante
e
. Caso não seja possível representar o número, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos o número 49, de forma exata, em dois sistemas de ponto flutuante diferentes:
e
. Isso envolve conceitos de representação numérica em sistemas de ponto flutuante, onde precisamos considerar a base, o número de dígitos na mantissa e o intervalo dos expoentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente do sistema de ponto flutuante significa:
- Base (
): A base numérica do sistema, pode ser 10 (decimal) ou 2 (binário). - Número de dígitos na mantissa (
): Quantos dígitos significativos temos para representar o número. - Exponente mínimo (
) e máximo ( ): Intervalo que os expoentes podem assumir.
Vamos começar com o primeiro sistema:
.
Passo 3
No sistema
:
- Base
- Mantissa com 4 dígitos
- Expoente varia de
a
Queremos representar o número 49. Vamos expressá-lo na forma normalizada de ponto flutuante:
Onde
é a mantissa e
é o expoente.
Passo 4
Para normalizar, a mantissa deve ter apenas um dígito significativo antes da vírgula. Então, temos:
Aqui,
e
.
Precisamos verificar se esses valores estão dentro das restrições do sistema:
- A mantissa tem 4 dígitos? Sim,
tem 4 dígitos. - O expoente está entre
e ? Sim, está dentro desse intervalo.
Passo 5
Portanto, o número 49 pode ser representado de forma exata no sistema
como:
Passo 6
Agora, vamos para o segundo sistema:
.
- Base
- Mantissa com 7 dígitos
- Expoente varia de
a
Vamos tentar representar o número 49 nesse sistema.
Passo 7
Começamos normalizando 49 na base 2:
Primeiro, convertendo 49 para binário:
Agora, escrevemos na forma normalizada:
Aqui,
e
.
Passo 8
Precisamos verificar se esses valores estão dentro das restrições do sistema:
- A mantissa tem 7 dígitos? Vamos verificar:
tem 6 dígitos, então podemos adicionar um zero: . - O expoente está entre
e ? Não, está fora desse intervalo.
Passo 9
Como o expoente
excede o limite máximo de
, o número 49 não pode ser representado de forma exata no sistema
. A limitação do intervalo dos expoentes impede essa representação.
Resposta
- No sistema
, o número 49 é representado exatamente como . - No sistema
, o número 49 não pode ser representado devido ao limite do expoente.