Representar cada um dos valores abaixo, de forma exata, nos sistemas de ponto flutuante F(10,4,-5,5) e F(2,7,-3,3). Caso não seja possível representar o número, justifique.
(49)10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos o número 49, de forma exata, em dois sistemas de ponto flutuante diferentes: F(10,4,-5,5) e F(2,7,-3,3). Isso envolve conceitos de representação numérica em sistemas de ponto flutuante, onde precisamos considerar a base, o número de dígitos na mantissa e o intervalo dos expoentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente do sistema de ponto flutuante significa:
  • Base ( b): A base numérica do sistema, pode ser 10 (decimal) ou 2 (binário).
  • Número de dígitos na mantissa ( p): Quantos dígitos significativos temos para representar o número.
  • Exponente mínimo ( emin) e máximo ( emax): Intervalo que os expoentes podem assumir.
Vamos começar com o primeiro sistema: F(10,4,-5,5).

Passo 3

No sistema F(10,4,-5,5):
  • Base b = 10
  • Mantissa com 4 dígitos
  • Expoente varia de -5 a 5
Queremos representar o número 49. Vamos expressá-lo na forma normalizada de ponto flutuante:
49 = m times 10^e
Onde m é a mantissa e e é o expoente.

Passo 4

Para normalizar, a mantissa deve ter apenas um dígito significativo antes da vírgula. Então, temos:
49 = 4.900 times 10^1
Aqui, m = 4.900 e e = 1.
Precisamos verificar se esses valores estão dentro das restrições do sistema:
  • A mantissa tem 4 dígitos? Sim, 4.900 tem 4 dígitos.
  • O expoente está entre -5 e 5? Sim, 1 está dentro desse intervalo.

Passo 5

Portanto, o número 49 pode ser representado de forma exata no sistema F(10,4,-5,5) como:
4.900 times 10^1

Passo 6

Agora, vamos para o segundo sistema: F(2,7,-3,3).
  • Base b = 2
  • Mantissa com 7 dígitos
  • Expoente varia de -3 a 3
Vamos tentar representar o número 49 nesse sistema.

Passo 7

Começamos normalizando 49 na base 2:
Primeiro, convertendo 49 para binário:
4910 = 1100012
Agora, escrevemos na forma normalizada:
1100012 = 1.10001 times 2^5
Aqui, m = 1.10001 e e = 5.

Passo 8

Precisamos verificar se esses valores estão dentro das restrições do sistema:
  • A mantissa tem 7 dígitos? Vamos verificar: 1.10001 tem 6 dígitos, então podemos adicionar um zero: 1.100010.
  • O expoente está entre -3 e 3? Não, 5 está fora desse intervalo.

Passo 9

Como o expoente 5 excede o limite máximo de 3, o número 49 não pode ser representado de forma exata no sistema F(2,7,-3,3). A limitação do intervalo dos expoentes impede essa representação.

Resposta

  • No sistema F(10,4,-5,5), o número 49 é representado exatamente como 4.900 times 10^1.
  • No sistema F(2,7,-3,3), o número 49 não pode ser representado devido ao limite do expoente.

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