Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. Isso envolve o estudo de equações diferenciais de primeira ordem, onde a gente quer descobrir uma relação entre
e
que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais clara a relação entre
e
. Começamos rearranjando os termos:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Legal, agora temos uma equação diferencial mais simples:
. Essa é uma equação linear de primeira ordem e podemos resolver separando as variáveis
e
. Isso significa que colocamos todos os termos com
de um lado e os com
do outro.
Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 4
Agora que os termos estão separados, vamos integrar ambos os lados para encontrar
em função de
.
Integramos a esquerda em relação a
:
E a direita em relação a
:
Passo 5
Depois de integrar, temos:
Onde
é a constante de integração. Para simplificar, vamos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Isso simplifica para:
Podemos escrever
como uma nova constante
:
Como
é uma constante arbitrária, podemos considerar
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante real.