Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial x , dy - y , dx = 0. Isso envolve o estudo de equações diferenciais de primeira ordem, onde a gente quer descobrir uma relação entre y e x que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais clara a relação entre dy/dx e y/x. Começamos rearranjando os termos:
x , dy = y , dx
Agora, dividimos ambos os lados por x , dx para isolar dydx:
dydx = yx

Passo 3

Legal, agora temos uma equação diferencial mais simples: dydx = yx. Essa é uma equação linear de primeira ordem e podemos resolver separando as variáveis y e x. Isso significa que colocamos todos os termos com y de um lado e os com x do outro.
Dividimos ambos os lados por y e multiplicamos por dx:
1y , dy = 1x , dx

Passo 4

Agora que os termos estão separados, vamos integrar ambos os lados para encontrar y em função de x.
Integramos a esquerda em relação a y:
integral 1y , dy = ln|y|
E a direita em relação a x:
integral 1x , dx = ln|x|

Passo 5

Depois de integrar, temos:
ln|y| = ln|x| + C
Onde C é a constante de integração. Para simplificar, vamos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
e^ln|y| = e^ln|x| + C
Isso simplifica para:
|y| = e^C cdot |x|
Podemos escrever e^C como uma nova constante K:
|y| = K cdot |x|
Como K é uma constante arbitrária, podemos considerar y = Kx.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é y = Cx, onde C é uma constante real.

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