Calcule as seguintes integrais.
integral(1+tan ^2 theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(1+tan^2 theta) dtheta. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas que relacionam o tan e o sec de um ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que diz:
1 + tan^2 theta = sec^2 theta
Isso significa que podemos substituir 1 + tan^2 theta por sec^2 theta, facilitando a integração.

Passo 3

Agora, substituímos na integral:
integral(1+tan^2 theta) dtheta = integral sec^2 theta , dtheta
A integral de sec^2 theta é uma das integrais básicas que aprendemos, que resulta em tan theta. Então, temos:
integral sec^2 theta , dtheta = tan theta + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de 1 + tan^2 theta em relação a theta é tan theta + C.

Exercícios relacionados