Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo $ y^{\prime} = x - 1 + x y - y $. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente equações lineares. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação e usar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear. A equação original é:
Podemos reescrever isso agrupando os termos com $ y $:
Agora a equação está na forma $ y^{\prime} + P(x) y = Q(x) $, onde $ P(x) = -(x - 1) $ e $ Q(x) = x - 1 $.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicamos em toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Substituindo $ P(x) = -(x - 1) $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integremos ambos os lados em relação a $ x $:
O lado esquerdo simplifica para:
Agora precisamos resolver a integral do lado direito.
Passo 6
A integral do lado direito pode ser resolvida por substituição. Vamos definir:
Note que $ (x - 1) dx = -du $. Então, a integral fica:
Passo 7
Voltando à equação, temos:
Agora, isolamos $ y $:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
onde $ C $ é a constante de integração.