Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo $ y^{\prime} = x - 1 + x y - y $. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente equações lineares. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação e usar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear. A equação original é:
y^prime = x - 1 + x y - y
Podemos reescrever isso agrupando os termos com $ y $:
y
Agora a equação está na forma $ y^{\prime} + P(x) y = Q(x) $, onde $ P(x) = -(x - 1) $ e $ Q(x) = x - 1 $.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicamos em toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) = -(x - 1) $:
mu(x) = e^integral P(x) , dx

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^-x^22 + x y^prime - (x - 1) e^-x^22 + x y = (x - 1) e^-x^22 + x
Isso simplifica para:
ddx ( e^-x^22 + x y ) = (x - 1) e^-x^22 + x

Passo 5

Agora, integremos ambos os lados em relação a $ x $:
x
O lado esquerdo simplifica para:
integral ddx ( e^-x^22 + x y ) , dx = integral (x - 1) e^-x^22 + x , dx
Agora precisamos resolver a integral do lado direito.

Passo 6

A integral do lado direito pode ser resolvida por substituição. Vamos definir:
u = -x^22 + x Rightarrow du = (-x + 1) dx
Note que $ (x - 1) dx = -du $. Então, a integral fica:
(x - 1) dx = -du

Passo 7

Voltando à equação, temos:
e^-x^22 + x y = -e^-x^22 + x + C
Agora, isolamos $ y $:
y

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = -1 + C , e^x^22 - x
onde $ C $ é a constante de integração.

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