Representar cada um dos valores abaixo, de forma exata, nos sistemas de ponto flutuante e . Caso não seja possível representar o número, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente representar o número de forma exata em dois sistemas de ponto flutuante diferentes: o e o . Isso envolve entender como os números são armazenados nesses sistemas, que são baseados em diferentes bases (10 e 2) e têm limites específicos para a mantissa e o expoente. Vamos precisar conhecer como funciona a representação em ponto flutuante e verificar se o número pode ser representado exatamente nesses sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o sistema . Aqui, a base é 10, a mantissa tem 4 dígitos e o expoente pode variar de -5 a 5. A representação geral de um número nesse sistema é:
onde é a mantissa (com 4 dígitos) e é o expoente.
Passo 3
Agora, vamos tentar representar nesse sistema. Primeiro, normalizamos o número:
Aqui, a mantissa é e o expoente é , que está dentro do intervalo permitido de -5 a 5. Portanto, no sistema , é representado exatamente como .
Passo 4
Agora, vamos para o sistema . Aqui, a base é 2, a mantissa tem 7 dígitos e o expoente varia de -3 a 3. A representação geral é:
Vamos tentar representar nesse sistema. Primeiro, precisamos converter para a base 2.
Passo 5
Convertendo para binário:
A parte inteira de é 5, que em binário é .
A parte decimal é . Para converter, multiplicamos por 2 repetidamente:
→ 0
→ 0
→ 1
→ 1
Continua repetindo…
Assim, a parte decimal em binário é , que é uma fração periódica.
Passo 6
Então, a representação binária de 5,2 é:
5,210 = 101,0011001100112
Como a fração decimal é periódica, não conseguimos representá-la exatamente com um número finito de dígitos na mantissa de 7 bits.
Passo 7
Mesmo tentando arredondar, a mantissa no sistema F(2,7,-3,3) teria que cortar a representação em 101,0011. Isso causa uma imprecisão, pois não conseguimos capturar toda a parte decimal de forma exata.
Resposta
No sistema F(10,4,-5,5), 5,2 é representado exatamente como 5,200 times 10^0. Já no sistema F(2,7,-3,3), não é possível representar 5,2 de forma exata devido à representação periódica da parte decimal em binário, resultando em uma aproximação.