Representar cada um dos valores abaixo, de forma exata, nos sistemas de ponto flutuante F(10,4,-5,5) e F(2,7,-3,3). Caso não seja possível representar o número, justifique.
(5,2)10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente representar o número 5,2 de forma exata em dois sistemas de ponto flutuante diferentes: o F(10,4,-5,5) e o F(2,7,-3,3). Isso envolve entender como os números são armazenados nesses sistemas, que são baseados em diferentes bases (10 e 2) e têm limites específicos para a mantissa e o expoente. Vamos precisar conhecer como funciona a representação em ponto flutuante e verificar se o número 5,2 pode ser representado exatamente nesses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o sistema F(10,4,-5,5). Aqui, a base é 10, a mantissa tem 4 dígitos e o expoente pode variar de -5 a 5. A representação geral de um número nesse sistema é:
N = pm M times 10^E
onde M é a mantissa (com 4 dígitos) e E é o expoente.

Passo 3

Agora, vamos tentar representar 5,2 nesse sistema. Primeiro, normalizamos o número:
5,2 = 5,200 times 10^0
Aqui, a mantissa M é 5,200 e o expoente E é 0, que está dentro do intervalo permitido de -5 a 5. Portanto, no sistema F(10,4,-5,5), 5,2 é representado exatamente como 5,200 times 10^0.

Passo 4

Agora, vamos para o sistema F(2,7,-3,3). Aqui, a base é 2, a mantissa tem 7 dígitos e o expoente varia de -3 a 3. A representação geral é:
N = pm M times 2^E
Vamos tentar representar 5,2 nesse sistema. Primeiro, precisamos converter 5,2 para a base 2.

Passo 5

Convertendo 5,2 para binário:
  • A parte inteira de 5,2 é 5, que em binário é 101.
  • A parte decimal é 0,2. Para converter, multiplicamos por 2 repetidamente:
    • 0,2 times 2 = 0,4 → 0
    • 0,4 times 2 = 0,8 → 0
    • 0,8 times 2 = 1,6 → 1
    • 0,6 times 2 = 1,2 → 1
    • Continua repetindo…
Assim, a parte decimal em binário é 0,00110011, que é uma fração periódica.

Passo 6

Então, a representação binária de 5,2 é:
5,210 = 101,0011001100112
Como a fração decimal é periódica, não conseguimos representá-la exatamente com um número finito de dígitos na mantissa de 7 bits.

Passo 7

Mesmo tentando arredondar, a mantissa no sistema F(2,7,-3,3) teria que cortar a representação em 101,0011. Isso causa uma imprecisão, pois não conseguimos capturar toda a parte decimal de forma exata.

Resposta

No sistema F(10,4,-5,5), 5,2 é representado exatamente como 5,200 times 10^0. Já no sistema F(2,7,-3,3), não é possível representar 5,2 de forma exata devido à representação periódica da parte decimal em binário, resultando em uma aproximação.

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