Representar no espaço euclidiano os conjuntos:
;
Passo 1
O enunciado pede que a gente “represente no espaço euclidiano” o conjunto dado. As informações que o enunciado fornece são:
- O conjunto é
. - A desigualdade é estrita:
, não . - As variáveis são
, , e o domínio é todo .
Nós precisamos descrever geometricamente esse conjunto no espaço (por exemplo: bola, esfera, centro, raio, interior, fronteira etc.). Não vamos ainda calcular nada — só identifiquei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Vamos entender o que a expressão
significa em termos de distância no espaço. Lembra da fórmula da distância euclidiana entre dois pontos em
? Se temos dois pontos
e
, a distância entre eles é
Aqui vemos um quadrado de termos com a forma
. Ou seja, a desigualdade pode ser vista como a condição sobre o quadrado da distância entre
e o ponto
.
Passo 3
Faça a ligação explícita entre a desigualdade e a distância: se escrevemos
, então
A desigualdade dada é
Como a função
é estritamente crescente para
, podemos tirar raiz quadrada dos dois lados (mantendo a desigualdade) e obter
Ou seja, o conjunto é formado por todos os pontos cuja distância ao ponto
é menor que
.
Passo 4
Agora traduzimos isso na linguagem padrão de geometria no espaço: o conjunto de todos os pontos de
cuja distância a um ponto fixo
é menor que um número positivo
é chamado de bola aberta de centro
e raio
. Assim, o conjunto dado é a bola aberta de centro
e raio
.
Podemos escrever essa descrição de duas formas equivalentes e úteis:
forma em termos de norma/distância (mais compacta):
onde
.
forma padrão com a desigualdade (a que veio no enunciado, só reescrita):
Passo 5
Complemento geométrico (útil para a prova): a fronteira desse conjunto (os pontos que não satisfazem a desigualdade estrita mas que fazem a igualdade) é a esfera de centro
e raio
, dada por
Uma parametrização da esfera (fronteira) usa coordenadas esféricas: para
e
,
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
- O ponto
pertence ao conjunto (distância ). - O ponto
está na fronteira (distância , pois ). - O ponto
também está na fronteira (pois ). - Um ponto como
tem , então está dentro da bola.
Resposta
A bola aberta de centro
e raio
, ou seja