Representar no espaço euclidiano os conjuntos:
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}<4\right\};

Passo 1

O enunciado pede que a gente “represente no espaço euclidiano” o conjunto dado. As informações que o enunciado fornece são:
  • O conjunto é \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \; ; \; x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}<4\}.
  • A desigualdade é estrita: <4, não \le 4.
  • As variáveis são x, y, z e o domínio é todo \mathbb{R}^3.
Nós precisamos descrever geometricamente esse conjunto no espaço (por exemplo: bola, esfera, centro, raio, interior, fronteira etc.). Não vamos ainda calcular nada — só identifiquei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Vamos entender o que a expressão \;x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}<4\; significa em termos de distância no espaço. Lembra da fórmula da distância euclidiana entre dois pontos em \mathbb{R}^3? Se temos dois pontos P=(x,y,z) e C=(x_0,y_0,z_0), a distância entre eles é
\text{dist}(P,C)=\sqrt{(x-x_0)^{2}+(y-y_0)^{2}+(z-z_0)^{2}}.
Aqui vemos um quadrado de termos com a forma (x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-1)^{2}. Ou seja, a desigualdade pode ser vista como a condição sobre o quadrado da distância entre P=(x,y,z) e o ponto C=(0,0,1).

Passo 3

Faça a ligação explícita entre a desigualdade e a distância: se escrevemos C=(0,0,1), então
(x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-1)^{2} = \big(\text{dist}\big((x,y,z),C\big)\big)^{2}.
A desigualdade dada é
\big(\text{dist}\big((x,y,z),C\big)\big)^{2}<4.
Como a função t\mapsto t^{2} é estritamente crescente para t\ge 0, podemos tirar raiz quadrada dos dois lados (mantendo a desigualdade) e obter
\text{dist}\big((x,y,z),C\big) < 2.
Ou seja, o conjunto é formado por todos os pontos cuja distância ao ponto C=(0,0,1) é menor que 2.

Passo 4

Agora traduzimos isso na linguagem padrão de geometria no espaço: o conjunto de todos os pontos de \mathbb{R}^3 cuja distância a um ponto fixo C é menor que um número positivo r é chamado de bola aberta de centro C e raio r. Assim, o conjunto dado é a bola aberta de centro C=(0,0,1) e raio r=2.
Podemos escrever essa descrição de duas formas equivalentes e úteis:
forma em termos de norma/distância (mais compacta):
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \;|\; \|(x,y,z)-(0,0,1)\|<2\},
onde \|(x,y,z)-(0,0,1)\|=\text{dist}\big((x,y,z),(0,0,1)\big).
forma padrão com a desigualdade (a que veio no enunciado, só reescrita):
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \;|\; (x-0)^{2}+(y-0)^{2}+(z-1)^{2}<2^{2}\}.

Passo 5

Complemento geométrico (útil para a prova): a fronteira desse conjunto (os pontos que não satisfazem a desigualdade estrita mas que fazem a igualdade) é a esfera de centro (0,0,1) e raio 2, dada por
x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=4.
Uma parametrização da esfera (fronteira) usa coordenadas esféricas: para \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi),
(x,y,z) = (0,0,1) + 2\big(\sin\varphi\cos\theta,\;\sin\varphi\sin\theta,\;\cos\varphi\big).
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • O ponto (0,0,1) pertence ao conjunto (distância 0<2).
  • O ponto (2,0,1) está na fronteira (distância 2, pois 2^{2}=4).
  • O ponto (0,0,-1) também está na fronteira (pois (z-1)^{2}=(-2)^{2}=4).
  • Um ponto como (0,0,0) tem (z-1)^{2}=1<4, então está dentro da bola.

Resposta

A bola aberta de centro (0,0,1) e raio 2, ou seja
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \;|\; \|(x,y,z)-(0,0,1)\|<2\}.

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