Exercício 2: assinale TODAS as soluções da equação z^{2}-(1+i) z+5 i=0.

Selecione todas as opções corretas da lista

\square 2-i
\square -6 i
\square -1+2 i
\square -7+2 i
\square 4+i
1 ponto por Envio.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar TODAS as soluções da equação \;z^{2}-(1+i)z+5i=0\; e marcar quais das opções dadas são raízes.
Informações relevantes fornecidas:
\;z^{2}-(1+i)z+5i=0\; e as opções:
\;2-i\;, \;-6i\;, \;-1+2i\;, \;-7+2i\;, \;4+i\;.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a fórmula quadrática (aquela que dá as raízes de uma equação do tipo az^2+bz+c=0). Ela funciona também com coeficientes complexos e é a forma mais direta aqui porque a equação é quadrática padrão e não há fatoração óbvia à vista. A fórmula é
z=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes da equação.

Passo 3

Identificamos os coeficientes da nossa equação escrita como az^2+bz+c=0. Para \;z^{2}-(1+i)z+5i=0\; temos
a=1,\quad b=-(1+i),\quad c=5i.
No entanto, em vez de usar b negativo, é prático notar que -b=1+i. Aplicando a fórmula:
z=\frac{1+i\pm\sqrt{(1+i)^{2}-4\cdot1\cdot5i}}{2}.
Agora calculamos o discriminante \Delta=(1+i)^{2}-20i.

Passo 4

Calculemos (1+i)^{2}:
(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=1+2i-1=2i.
Portanto
\Delta=2i-20i=-18i.

Passo 5

Precisamos da raiz quadrada de \Delta=-18i. Procuramos números reais a e b tais que
(a+bi)^{2}=-18i.
Expandindo:
a^{2}-b^{2}+2ab\,i=0-18i.
Igualando partes reais e imaginárias obtemos o sistema
a^{2}-b^{2}=0,\qquad 2ab=-18.
Da primeira equação vem a^{2}=b^{2}, logo b=\pm a. Se b=a então 2a^{2}=-18 (impossível real). Logo b=-a. Substituindo na segunda:
2a(-a)=-2a^{2}=-18\implies a^{2}=9\implies a=\pm3.
Como b=-a, as duas raízes quadradas de -18i são
3-3i\quad\text{e}\quad -3+3i,
que são opostas uma da outra (como esperado).

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula com as duas escolhas do sinal \pm. Usando \sqrt{\Delta}=3-3i:
z_{1}=\frac{1+i+(3-3i)}{2}=\frac{4-2i}{2}=2-i.
Usando \sqrt{\Delta}=-(3-3i)=-3+3i:
z_{2}=\frac{1+i+(-3+3i)}{2}=\frac{-2+4i}{2}=-1+2i.

Passo 7

Verificação rápida (substituição) para garantir que realmente anulam a equação.
Para z=2-i:
z^{2}=(2-i)^{2}=4-4i+i^{2}=3-4i,
-(1+i)z=-(1+i)(2-i)=-(3+i)=-3-i,
z^{2}-(1+i)z+5i=(3-4i)+(-3-i)+5i=0.
Para z=-1+2i:
z^{2}=(-1+2i)^{2}=1-4i-4=-3-4i,
-(1+i)z=-(1+i)(-1+2i)=-( -3+i)=3-i,
z^{2}-(1+i)z+5i=(-3-4i)+(3-i)+5i=0.
Ambas verificações dão zero, logo são raízes corretas.

Passo 8

Conclusão prática: as raízes da equação são \;2-i\; e \;-1+2i\;. Comparando com as opções dadas, as alternativas corretas são exatamente essas duas.

Resposta

2-i
-1+2i

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