Representar no espaço euclidiano os conjuntos:
;
Passo 1
O enunciado pede: representar no espaço euclidiano o conjunto
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Os pontos são pares ordenados
com e reais. - A condição é a desigualdade
. - A igualdade
define a curva limite (a fronteira do conjunto). - O conjunto contém todos os pontos que estão sobre essa curva e também os que estão acima dela.
Passo 2
Interpretação da desigualdade ponto a ponto.\n
Para um valor fixo de , a desigualdade
diz que o valor de
pode ser qualquer número maior ou igual a
. Ou seja, para cada
fixo o conjunto de
admissíveis é o semirreto vertical
Para um valor fixo de
Isso significa que, ao cortar o plano por uma reta vertical em
fixa, a interseção com nosso conjunto é um segmento de reta vertical que começa em
e vai até
.
Passo 3
Entender e desenhar a curva limite
.\n
A curva é uma parábola com as seguintes características:
A curva
- vértice em
; - abre para cima (porque o coeficiente de
é positivo); - eixo de simetria é a reta
(eixo ).\n
Pontos fáceis para esboçar:, , , , . Plote esses pontos e faça uma curva suave passando por eles.
Passo 4
Como sombrear a região correspondente.\n
Depois de desenhar a parábola , para representar o conjunto
você deve sombrear toda a região acima da parábola, incluindo a própria curva. Importante: a igualdade
indica que a curva é parte do conjunto, então na figura deve-se desenhar a parábola como linha contínua (não tracejada) e preencher a região acima dela.
Depois de desenhar a parábola
Passo 5
Representações alternativas e forma paramétrica.\n
Duas formas equivalentes de escrever o conjunto, úteis em provas ou raciocínios:
Duas formas equivalentes de escrever o conjunto, úteis em provas ou raciocínios:
é idêntico a
Aqui
é a abscissa livre e
indica quanto acima da parábola o ponto está;
corresponde à própria parábola.
Passo 6
Propriedades importantes (para entender o conjunto na prova).\n
- Fronteira (boundary): é a parábola
. Isso vem do fato de que pontos sobre a parábola têm vizinhanças que tocam tanto pontos do conjunto quanto pontos fora dele. - Interior: os pontos com desigualdade estrita
formam o interior do conjunto (região aberta para cima). - Fechado: o conjunto é fechado porque é o conjunto inverso
de um intervalo fechado através da função contínua . (Não precisa decorar: basta saber que incluir a curva costuma indicar conjunto fechado aqui.) - É ilimitado (unbounded) para cima e em
: para qualquer há arbitrariamente grandes que satisfazem a desigualdade.
Passo 7
Como justificar rapidamente num exame que um ponto pertence (ou não) ao conjunto.\n
Dado um ponto :
Dado um ponto
- calcule
; - compare
com .
Seentão pertence ao conjunto; se não pertence.\n
Exemplos rápidos: -
: → pertence. -
: é falso → não pertence. -
: → pertence.
Passo 8
Guia prático passo a passo para desenhar no papel (fácil e rápido na prova).\n
- Desenhe os eixos
e . - Marque os pontos
. - Trace a parábola
passando por esses pontos, com linha contínua. - Sombreie (pinte levemente) toda a região acima da curva, estendendo até
no eixo . - Indique com uma pequena legenda ou seta que a região sombreada corresponde a
.
Resposta
Região do plano formada pela parábola
e por todos os pontos acima dela, isto é,
ou equivalentemente