Representar no espaço euclidiano os conjuntos:
\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; y \geq x^{2}\right\};

Passo 1

O enunciado pede: representar no espaço euclidiano o conjunto \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\; y\ge x^2\right\}.\n
Informações fornecidas:
  • Os pontos são pares ordenados (x,y) com x e y reais.
  • A condição é a desigualdade \,y\ge x^2\,.
  • A igualdade y=x^2 define a curva limite (a fronteira do conjunto).
  • O conjunto contém todos os pontos que estão sobre essa curva e também os que estão acima dela.

Passo 2

Interpretação da desigualdade ponto a ponto.\n
Para um valor fixo de x\in\mathbb{R}, a desigualdade \,y\ge x^2\, diz que o valor de y pode ser qualquer número maior ou igual a x^2. Ou seja, para cada x fixo o conjunto de y admissíveis é o semirreto vertical
\{y\in\mathbb{R} : y\ge x^2\}.
Isso significa que, ao cortar o plano por uma reta vertical em x fixa, a interseção com nosso conjunto é um segmento de reta vertical que começa em y=x^2 e vai até +\infty.

Passo 3

Entender e desenhar a curva limite \,y=x^2\,.\n
A curva \,y=x^2\, é uma parábola com as seguintes características:
  • vértice em (0,0);
  • abre para cima (porque o coeficiente de x^2 é positivo);
  • eixo de simetria é a reta x=0 (eixo y).\n
    Pontos fáceis para esboçar: (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4). Plote esses pontos e faça uma curva suave passando por eles.

Passo 4

Como sombrear a região correspondente.\n
Depois de desenhar a parábola \,y=x^2, para representar o conjunto \{(x,y):y\ge x^2\} você deve sombrear toda a região acima da parábola, incluindo a própria curva. Importante: a igualdade \ge indica que a curva é parte do conjunto, então na figura deve-se desenhar a parábola como linha contínua (não tracejada) e preencher a região acima dela.

Passo 5

Representações alternativas e forma paramétrica.\n
Duas formas equivalentes de escrever o conjunto, úteis em provas ou raciocínios:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y\ge x^2\}
é idêntico a
\{(x,x^2+t) : x\in\mathbb{R},\; t\in[0,\infty)\}.
Aqui x é a abscissa livre e t indica quanto acima da parábola o ponto está; t=0 corresponde à própria parábola.

Passo 6

Propriedades importantes (para entender o conjunto na prova).\n
  • Fronteira (boundary): é a parábola \{(x,x^2):x\in\mathbb{R}\}. Isso vem do fato de que pontos sobre a parábola têm vizinhanças que tocam tanto pontos do conjunto quanto pontos fora dele.
  • Interior: os pontos com desigualdade estrita \,y> x^2\, formam o interior do conjunto (região aberta para cima).
  • Fechado: o conjunto é fechado porque é o conjunto inverso \{(x,y): f(x,y)\in[0,\infty)\} de um intervalo fechado através da função contínua f(x,y)=y-x^2. (Não precisa decorar: basta saber que incluir a curva costuma indicar conjunto fechado aqui.)
  • É ilimitado (unbounded) para cima e em x: para qualquer x y arbitrariamente grandes que satisfazem a desigualdade.

Passo 7

Como justificar rapidamente num exame que um ponto pertence (ou não) ao conjunto.\n
Dado um ponto (x_0,y_0):
  • calcule x_0^2;
  • compare y_0 com x_0^2.
    Se y_0\ge x_0^2 então (x_0,y_0) pertence ao conjunto; se y_0<x_0^2 não pertence.\n
    Exemplos rápidos:
  • (0,0): 0\ge 0^2 → pertence.
  • (1,0): 0\ge 1^2 é falso → não pertence.
  • (2,5): 5\ge 2^2=4 → pertence.

Passo 8

Guia prático passo a passo para desenhar no papel (fácil e rápido na prova).\n
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque os pontos (-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4).
  3. Trace a parábola \,y=x^2\, passando por esses pontos, com linha contínua.
  4. Sombreie (pinte levemente) toda a região acima da curva, estendendo até +\infty no eixo y.
  5. Indique com uma pequena legenda ou seta que a região sombreada corresponde a y\ge x^2.

Resposta

Região do plano formada pela parábola \{(x,x^2):x\in\mathbb{R}\} e por todos os pontos acima dela, isto é,
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y\ge x^2\}
ou equivalentemente
\{(x,x^2+t) : x\in\mathbb{R},\; t\in[0,\infty)\}.

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