Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o Teste da Comparação ou a Comparação no Limite para ver se a série
converge ou diverge. Basicamente, estamos trabalhando com séries infinitas e queremos saber se a soma delas dá um número finito (converge) ou se fica sem limite (diverge). Para isso, vamos comparar essa série com outra que já sabemos se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Note que
é o mesmo que
, mas para facilitar, a gente pode reescrever a série começando de
. Assim, temos:
Aqui, fizemos uma substituição onde
.
Passo 3
Agora, sabemos que a série
é uma série p, onde
. As séries p são do tipo
e a gente sabe que elas convergem se
.
Passo 4
Como no nosso caso,
, que é maior que 1, isso significa que a série
converge. E já que nossa série original é igual a essa, também converge.
Resposta
A série
converge.