Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
sumn=2^infty 1(n-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente usar o Teste da Comparação ou a Comparação no Limite para ver se a série sumn=2^infty 1(n-1)^2 converge ou diverge. Basicamente, estamos trabalhando com séries infinitas e queremos saber se a soma delas dá um número finito (converge) ou se fica sem limite (diverge). Para isso, vamos comparar essa série com outra que já sabemos se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Note que (n-1)^2 é o mesmo que n^2 - 2n + 1, mas para facilitar, a gente pode reescrever a série começando de n=1. Assim, temos:
sumn=2^infty 1(n-1)^2 = summ=1^infty 1m^2
Aqui, fizemos uma substituição onde m = n - 1.

Passo 3

Agora, sabemos que a série summ=1^infty 1m^2 é uma série p, onde p = 2. As séries p são do tipo sumn=1^infty 1n^p e a gente sabe que elas convergem se p > 1.

Passo 4

Como no nosso caso, p = 2, que é maior que 1, isso significa que a série summ=1^infty 1m^2 converge. E já que nossa série original é igual a essa, também converge.

Resposta

A série sumn=2^infty 1(n-1)^2 converge.

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