Representar na forma trigonométrica
d) -raiz3-i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos o número complexo -raiz3 - i na forma trigonométrica. Isso está relacionado ao estudo dos números complexos e suas representações no plano complexo. Para isso, vamos precisar entender como converter um número complexo da forma a + b,i para a forma trigonométrica, que envolve módulo e argumento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser representado na forma trigonométrica como:
z = r (cos theta + i sin theta)
Aqui, r é o módulo do número complexo e theta é o argumento, que é o ângulo que o vetor forma com o eixo real no plano complexo.

Passo 3

Vamos calcular o módulo r. O módulo de um número complexo a + b,i é dado por:
r = raiza^2 + b^2
No nosso caso, a = -raiz3 e b = -1. Então:
r = raiz(-raiz3)^2 + (-1)^2 = raiz3 + 1 = raiz4 = 2

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento theta. O argumento é o ângulo cuja tangente é ba. Então:
tan theta = ba = -1-raiz3 = 1raiz3
Sabemos que tan theta = 1raiz3 corresponde a theta = pi6 radianos (ou 30 graus). No entanto, precisamos considerar em qual quadrante o número complexo está.

Passo 5

Nosso número complexo -raiz3 - i tem a parte real negativa e a parte imaginária negativa, o que o coloca no terceiro quadrante. No terceiro quadrante, o ângulo theta é dado por:
theta = pi + pi6 = 7pi6

Passo 6

Agora que temos o módulo e o argumento, podemos escrever a forma trigonométrica:
z = 2 ( cos 7pi6 + i sin 7pi6 )

Resposta

A representação trigonométrica de -raiz3 - i é:
2 ( cos 7pi6 + i sin 7pi6 )

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