Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
sumn=1^infty ln (1+12^n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Comparação ou a Comparação no Limite para descobrir se a série sumn=1^infty ln (1+12^n) converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como comparar termos delas para ver o que acontece quando somamos muitos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série: ln (1+12^n). Sabemos que para valores pequenos de x, a função logarítmica pode ser aproximada por ln(1+x) approx x. Como $ \frac{1}{2^{n}} $ fica bem pequeno conforme 12^n aumenta, podemos aproximar:
n

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série sumn=1^infty 12^n. Essa é uma série geométrica com razão $ r = \frac{1}{2} $, e sabemos que séries geométricas convergem se $ |r| < 1 $. No nosso caso, $ \frac{1}{2} < 1 $, então a série r = 12 converge.

Passo 4

Como ln (1+12^n) approx 12^n para grandes valores de n e sum 12^n converge, podemos usar o Teste da Comparação. Segundo esse teste, se os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos de uma série que já sabemos que converge, então a nossa série também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty ln (1+12^n) converge.

Exercícios relacionados