Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Comparação ou a Comparação no Limite para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como comparar termos delas para ver o que acontece quando somamos muitos termos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série:
. Sabemos que para valores pequenos de
, a função logarítmica pode ser aproximada por
. Como $ \frac{1}{2^{n}} $ fica bem pequeno conforme
aumenta, podemos aproximar:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série
. Essa é uma série geométrica com razão $ r = \frac{1}{2} $, e sabemos que séries geométricas convergem se $ |r| < 1 $. No nosso caso, $ \frac{1}{2} < 1 $, então a série
converge.
Passo 4
Como
para grandes valores de
e
converge, podemos usar o Teste da Comparação. Segundo esse teste, se os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos de uma série que já sabemos que converge, então a nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.