Representar graficamente cada um dos conjuntos seguintes:
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / y>-1\right. e \left.x \leqslant 2\right\}

Passo 1

O enunciado pede: representar graficamente o conjunto
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y>-1 \text{ e } x\leqslant 2\}.
Informações dadas:
  • A primeira condição é y>-1.
  • A segunda condição é x\leqslant 2.
    O objetivo é desenhar no plano cartesiano todos os pontos (x,y) que satisfazem essas duas condições simultaneamente.

Passo 2

Entendendo geometricamente cada equação/inequação:
  • A reta dada por y=-1 é a reta horizontal que passa por todos os pontos com coordenada y igual a -1. Em termos visuais é uma linha horizontal.
  • A reta dada por x=2 é a reta vertical que passa por todos os pontos com coordenada x igual a 2. Em termos visuais é uma linha vertical.

Passo 3

Interpretação da inequação y>-1:
  • Isso significa "estar acima da reta y=-1". É o semiplano situado por cima dessa reta.
  • Como a desigualdade é estrita ( >), os pontos sobre a reta y=-1 não pertencem ao conjunto. Ao desenhar, representa-se a reta y=-1 com traço tracejado (ou pontilhado) para indicar que ela não está incluída.
  • A região válida para esta condição é o conjunto de todos os pontos com coordenada y maior que -1: sombrear a região acima da reta tracejada.

Passo 4

Interpretação da inequação x\leqslant 2:
  • Isso significa "estar à esquerda da reta x=2" (incluindo a reta).
  • Como a desigualdade é não estrita ( \leqslant), os pontos sobre a reta x=2 pertencem ao conjunto. Ao desenhar, representa-se a reta x=2 com traço contínuo (sólido) para indicar que ela está incluída.
  • A região válida para esta condição é o semiplano formado por todos os pontos com coordenada x menor ou igual a 2: sombrear a região à esquerda da reta sólida.

Passo 5

Interseção das duas condições (o conjunto pedido):
  • O conjunto A é a interseção dos dois semiplanos: o semiplano acima de y=-1 e o semiplano à esquerda de x=2.
  • Geometricamente, é a região do plano que fica simultaneamente acima da reta horizontal y=-1 (reta tracejada, não incluída) e à esquerda da reta vertical x=2 (reta sólida, incluída).
  • Ao desenhar: faça os eixos x e y, traceie horizontalmente y=-1 (linha tracejada), desenhe verticalmente x=2 (linha sólida), e sombreie a região que está acima da linha tracejada e à esquerda da linha sólida. Coloque setas indicando que a região se estende indefinidamente para cima e para a esquerda.

Passo 6

Detalhes importantes sobre a fronteira e exemplos de verificação:
  • A reta x=2 faz parte de A apenas para os pontos que satisfazem y>-1. Ou seja, os pontos (2,y) com y>-1 pertencem a A; o ponto (2,-1) não pertence porque y=-1 não satisfaz y>-1.
  • A reta y=-1 não pertence ao conjunto em nenhum ponto, mesmo para x\leqslant 2.
  • Exemplos para checar:
    • (0,0): como 0>-1 e 0\leqslant2, pertence a A.
    • (2,0): 0>-1 e 2\leqslant2, pertence a A (está sobre a reta x=2).
    • (3,0): 3\leqslant2 é falso, logo não pertence.
    • (0,-2): -2>-1 é falso, logo não pertence.

Passo 7

Como apresentar o desenho numa prova (passo a passo prático):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque a posição y=-1 e x=2.
  2. Desenhe a reta y=-1 tracejada.
  3. Desenhe a reta x=2 contínua.
  4. Sombreie a região que está acima da reta tracejada e à esquerda da reta contínua.
  5. Coloque uma seta ou indicação que a região é ilimitada (vai ao infinito) e marque um ponto de teste como (0,0) para mostrar que a sombreamento está correto.

Resposta

O conjunto A é a região do plano formada pela interseção do semiplano acima da reta y=-1 (reta y=-1 tracejada, não incluída) com o semiplano à esquerda da reta x=2 (reta x=2 contínua, incluída).

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