Representar graficamente cada um dos conjuntos seguintes:
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} /-1 \leq y \leq 3 ; x \geq 1 ; x-y \geq 2\right\}

Passo 1

O enunciado pede: representar graficamente o conjunto
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -1 \le y \le 3;\; x \ge 1;\; x-y \ge 2\}.
Informações dadas (escrevendo cada desigualdade):
  • -1 \le y \le 3.
  • x \ge 1.
  • x - y \ge 2.
O objetivo é desenhar no plano (x,y) todos os pontos que satisfazem simultaneamente essas três condições.

Passo 2

Interpretar e desenhar a primeira condição -1 \le y \le 3:
  • As retas \;y=-1\; e \;y=3\; são duas linhas horizontais.
  • A desigualdade -1 \le y \le 3 representa a faixa horizontal (faixa ou “tira”) entre essas duas retas, incluindo as próprias retas (porque há sinais \le).
    Como desenhar na prova: trace duas linhas horizontais em y=-1 e y=3 e marque a região entre elas (sombreie ou indique com setas para dentro). As retas são sólidas (inclusão).

Passo 3

Interpretar e desenhar a segunda condição x \ge 1:
  • A reta x=1 é uma reta vertical.
  • A desigualdade x \ge 1 é o semiplano à direita dessa reta, incluindo a reta (pois é \ge).
    Como desenhar: trace a reta vertical em x=1 e sombreie a região à direita; a reta é sólida.

Passo 4

Interpretar e desenhar a terceira condição x-y \ge 2. Primeiro isolar y:
x-y \ge 2 \quad\Longleftrightarrow\quad -y \ge 2-x \quad\Longleftrightarrow\quad y \le x-2.
  • A reta y = x-2 tem coeficiente angular 1 (sobe 1 para cada 1 em x) e intercepto em y=-2.
  • A desigualdade y \le x-2 é o semiplano abaixo (ou sobre) dessa reta, incluindo a reta (pois é \le).
    Como desenhar: trace a reta oblíqua y=x-2 (ponto quando x=0 tem y=-2, ou quando x=2 tem y=0), e sombreie a região abaixo dela; reta sólida.

Passo 5

Agora faça a interseção das três regiões desenhadas: a faixa horizontal -1\le y\le 3, o semiplano x\ge 1 e o semiplano y\le x-2. Para entender melhor a forma da interseção, é útil perceber que o teto efetivo para y é o menor entre 3 e x-2. Escrevemos isso como
-1 \le y \le \min(3,\;x-2),\qquad x\ge 1.
Isso porque temos que obedecer simultaneamente y\le 3 e y\le x-2, logo o teto é o menor dos dois.

Passo 6

Determinar onde cada uma das duas curvas domina o teto:
  • Se x-2 < 3 então \min(3,x-2)=x-2. A condição x-2<3 é equivalente a x<5.
  • Se x-2 \ge 3 então \min(3,x-2)=3. A condição x-2\ge 3 é equivalente a x\ge 5.
Como temos também x\ge 1, separamos casos:
  1. Para 1 \le x < 5: o teto é y\le x-2. Assim os pontos admissíveis satisfazem
1 \le x < 5,\qquad -1 \le y \le x-2.
Nesse intervalo de x, o segmento vertical em cada abscissa vai de y=-1 até y=x-2. Note que em x=1 temos x-2=-1, o segmento degenera em um único ponto (1,-1).
2. Para x \ge 5: o teto é y\le 3, e como já temos -1\le y\le 3, todos os y entre -1 e 3 são permitidos. Assim
x \ge 5,\qquad -1 \le y \le 3.
Ou seja, a partir de x=5 para a direita temos a faixa inteira entre y=-1 e y=3.

Passo 7

Encontrar pontos de “canto” e contornos importantes (útil ao desenhar):
  • Interseção entre y=x-2 e y=3: resolver x-2=3 x=5. Logo ponto (5,3).
  • Interseção entre y=x-2 e y=-1: resolver x-2=-1 x=1. Logo ponto (1,-1).
  • Interseção entre x=1 e y=3 gera (1,3), mas esse ponto não satisfaz y\le x-2 (pois 3\le-1 é falso), então (1,3) não pertence ao conjunto.
    As fronteiras são incluídas (sinais \le e \ge), então trace as retas sólidas: y=-1, y=3, x=1 e y=x-2. A região é limitada à esquerda por x=1 (mas, de fato, para x=1 só existe o ponto (1,-1)), limitada em cima pela reta y=x-2 até (5,3) e depois pela reta horizontal y=3 para a direita; em baixo pela reta y=-1. Para x\to+\infty a região continua como uma faixa horizontal de altura 4 ( -1 a 3).

Passo 8

Descrição final do desenho (passo a passo prático para a prova):
  • Desenhe as retas sólidas: y=-1, y=3, x=1 e y=x-2.
  • Marque o ponto (1,-1) e o ponto (5,3).
  • Sombreie apenas os pontos que estão à direita de x=1, entre y=-1 e y=3, e abaixo de y=x-2.
  • Isso resulta numa região que para 1\le x<5 é estreita (de y=-1 até y=x-2), e a partir de x=5 é a faixa completa -1\le y\le3 estendendo-se até +\infty em x.

Resposta

A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 1,\; -1\le y\le \min(3,\;x-2)\}
ou, de forma equivalente,
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1\le x<5,\; -1\le y\le x-2\}\\ \cup\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 5,\; -1\le y\le 3\}.

Exercícios relacionados