Representar graficamente cada um dos conjuntos seguintes:
Passo 1
O enunciado pede: representar graficamente o conjunto
Informações dadas (escrevendo cada desigualdade):
-
. -
. -
.
O objetivo é desenhar no plano
todos os pontos que satisfazem simultaneamente essas três condições.
Passo 2
Interpretar e desenhar a primeira condição
:
- As retas
e são duas linhas horizontais. - A desigualdade
representa a faixa horizontal (faixa ou “tira”) entre essas duas retas, incluindo as próprias retas (porque há sinais ).
Como desenhar na prova: trace duas linhas horizontais eme e marque a região entre elas (sombreie ou indique com setas para dentro). As retas são sólidas (inclusão).
Passo 3
Interpretar e desenhar a segunda condição
:
- A reta
é uma reta vertical. - A desigualdade
é o semiplano à direita dessa reta, incluindo a reta (pois é ).
Como desenhar: trace a reta vertical eme sombreie a região à direita; a reta é sólida.
Passo 4
Interpretar e desenhar a terceira condição
. Primeiro isolar
:
- A reta
tem coeficiente angular (sobe 1 para cada 1 em ) e intercepto em . - A desigualdade
é o semiplano abaixo (ou sobre) dessa reta, incluindo a reta (pois é ).
Como desenhar: trace a reta oblíqua(ponto quando tem , ou quando tem ), e sombreie a região abaixo dela; reta sólida.
Passo 5
Agora faça a interseção das três regiões desenhadas: a faixa horizontal
, o semiplano
e o semiplano
. Para entender melhor a forma da interseção, é útil perceber que o teto efetivo para
é o menor entre
e
. Escrevemos isso como
Isso porque temos que obedecer simultaneamente
e
, logo o teto é o menor dos dois.
Passo 6
Determinar onde cada uma das duas curvas domina o teto:
- Se
então . A condição é equivalente a . - Se
então . A condição é equivalente a .
Como temos também
, separamos casos:
- Para
: o teto é . Assim os pontos admissíveis satisfazem
Nesse intervalo de
, o segmento vertical em cada abscissa vai de
até
. Note que em
temos
, o segmento degenera em um único ponto
.
2. Para : o teto é
, e como já temos
, todos os
entre
e
são permitidos. Assim
2. Para
Ou seja, a partir de
para a direita temos a faixa inteira entre
e
.
Passo 7
Encontrar pontos de “canto” e contornos importantes (útil ao desenhar):
- Interseção entre
e : resolver dá . Logo ponto . - Interseção entre
e : resolver dá . Logo ponto . - Interseção entre
e gera , mas esse ponto não satisfaz (pois é falso), então não pertence ao conjunto.
As fronteiras são incluídas (sinaise ), então trace as retas sólidas: , , e . A região é limitada à esquerda por (mas, de fato, para só existe o ponto ), limitada em cima pela reta até e depois pela reta horizontal para a direita; em baixo pela reta . Para a região continua como uma faixa horizontal de altura ( a ).
Passo 8
Descrição final do desenho (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe as retas sólidas:
, , e . - Marque o ponto
e o ponto . - Sombreie apenas os pontos que estão à direita de
, entre e , e abaixo de . - Isso resulta numa região que para
é estreita (de até ), e a partir de é a faixa completa estendendo-se até em .
Resposta
ou, de forma equivalente,