Representar graficamente cada um dos conjuntos seguintes:
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} /-2 \leqslant x \leqslant 5 ; x+y \leqslant 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede que se represente graficamente o conjunto
A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -2\le x\le 5,\; x+y\le 1\right\}.
Informações dadas:
  • Há uma restrição em x: -2\le x\le 5.
  • Há uma desigualdade linear envolvendo x e y: x+y\le 1.
    O que é pedido: desenhar no plano cartesiano todos os pontos (x,y) que satisfazem essas duas condições ao mesmo tempo.

Passo 2

Interpretar a primeira condição -2\le x\le 5.
  • A equação x=-2 é uma reta vertical. Para desenhá-la trace uma linha vertical passando por x=-2.
  • A equação x=5 é outra reta vertical, paralela à primeira, passando por x=5.
  • A desigualdade -2\le x\le 5 significa o conjunto de pontos do plano que estão entre essas duas retas verticais, incluindo as próprias retas (porque o sinal é \le e \ge). Em outras palavras, é uma “faixa vertical” (um retângulo infinito verticalmente) limitada à esquerda por x=-2 e à direita por x=5.

Passo 3

Interpretar a segunda condição x+y\le 1.
  • Primeiro escrevemos isolando y: y\le 1-x.
  • A equação x+y=1 é uma reta com coeficiente angular -1 e intercepto no eixo y igual a 1. Para desenhá-la: ela passa por (0,1) e tem inclinação -1, então passa também por (1,0).
  • A desigualdade y\le 1-x corresponde àsemiplano abaixo (ou sobre) dessa reta. Para decidir qual lado da reta é o desejado, escolhemos um ponto teste fácil (por exemplo (0,0)): verificamos 0+0\le 1 que é verdadeiro, então o lado que contém (0,0) — o lado inferior da reta — é o que deve ser incluído.

Passo 4

Encontrar a interseção entre a faixa vertical e o semiplano para localizar a “borda superior” da região.
  • A borda superior ocorre onde a reta x+y=1 corta as retas verticais x=-2 e x=5.
  • Para x=-2: y=1-(-2)=3. Logo o ponto de interseção é (-2,3).
  • Para x=5: y=1-5=-4. Logo o ponto de interseção é (5,-4).
  • Entre esses dois pontos, sobre a reta x+y=1, fica o segmento que é a borda superior do conjunto dentro da faixa -2\le x\le 5.

Passo 5

Decidir quais fronteiras são incluídas.
  • As desigualdades usam \le (e \ge implicitamente para o limite inferior de x), então as retas x=-2, x=5 e a reta x+y=1 pertencem ao conjunto. Portanto, ao desenhar, trace todas essas retas com traço contínuo (não tracejado).
  • O conjunto consiste em todos os pontos entre as retas verticais, cujo y está abaixo (ou sobre) da reta y=1-x. Em particular, para cada x fixo tal que -2\le x\le 5, o conjunto contém todos os y tais que y\le 1-x. Isso mostra que o conjunto é ilimitado para baixo (vai até y\to -\infty) dentro da faixa.

Passo 6

Instrução prática, passo a passo, para desenhar o gráfico (faça isto na sua folha):
  1. Desenhe os eixos coordenados x- y.
  2. Trace a reta vertical x=-2 e a reta vertical x=5; marque-as claramente e indique que são incluídas (linhas contínuas).
  3. Desenhe a reta x+y=1, equivalente a y=1-x; marque os pontos (0,1) e (1,0) para posicioná-la; também desenhe-a contínua.
  4. Marque os pontos de interseção da reta y=1-x com as verticais: (-2,3) e (5,-4).
  5. Sombreie (ou pinte) a região que está entre as retas x=-2 e x=5 e que está abaixo da reta y=1-x. Não sombreie fora da faixa vertical.
  6. Verifique com um ponto interior: por exemplo (0,0) está entre -2 e 5 e satisfaz 0\le 1, logo deve estar sombreado. Já (0,2) não deve estar sombreado porque 2\le 1 é falso.

Passo 7

Resumo geométrico e observações finais:
  • Geometricamente, A é a região do plano delimitada lateralmente pelas retas verticais x=-2 e x=5, limitada superiormente pelo segmento da reta x+y=1 entre (-2,3) e (5,-4), e ilimitada para baixo (vai até -\infty em y). Todas as fronteiras mencionadas pertencem ao conjunto.
  • Em notação curta: A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid -2\le x\le 5,\\ y\le 1-x\}.
  • Dica para a prova: sempre desenhe as retas das igualdades, use um ponto teste para saber qual semiplano escolher e verifique se as fronteiras são incluídas pelos símbolos \le ou <.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid -2\le x\le 5,\\ y\le 1-x\}

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