Representar graficamente cada um dos conjuntos seguintes:
Passo 1
O enunciado pede que se represente graficamente o conjunto
Informações dadas:
- Há uma restrição em
: . - Há uma desigualdade linear envolvendo
e : .
O que é pedido: desenhar no plano cartesiano todos os pontosque satisfazem essas duas condições ao mesmo tempo.
Passo 2
Interpretar a primeira condição
.
- A equação
é uma reta vertical. Para desenhá-la trace uma linha vertical passando por . - A equação
é outra reta vertical, paralela à primeira, passando por . - A desigualdade
significa o conjunto de pontos do plano que estão entre essas duas retas verticais, incluindo as próprias retas (porque o sinal é e ). Em outras palavras, é uma “faixa vertical” (um retângulo infinito verticalmente) limitada à esquerda por e à direita por .
Passo 3
Interpretar a segunda condição
.
- Primeiro escrevemos isolando
: . - A equação
é uma reta com coeficiente angular e intercepto no eixo igual a . Para desenhá-la: ela passa por e tem inclinação , então passa também por . - A desigualdade
corresponde àsemiplano abaixo (ou sobre) dessa reta. Para decidir qual lado da reta é o desejado, escolhemos um ponto teste fácil (por exemplo ): verificamos que é verdadeiro, então o lado que contém — o lado inferior da reta — é o que deve ser incluído.
Passo 4
Encontrar a interseção entre a faixa vertical e o semiplano para localizar a “borda superior” da região.
- A borda superior ocorre onde a reta
corta as retas verticais e . - Para
: . Logo o ponto de interseção é . - Para
: . Logo o ponto de interseção é . - Entre esses dois pontos, sobre a reta
, fica o segmento que é a borda superior do conjunto dentro da faixa .
Passo 5
Decidir quais fronteiras são incluídas.
- As desigualdades usam
(e implicitamente para o limite inferior de ), então as retas , e a reta pertencem ao conjunto. Portanto, ao desenhar, trace todas essas retas com traço contínuo (não tracejado). - O conjunto consiste em todos os pontos entre as retas verticais, cujo
está abaixo (ou sobre) da reta . Em particular, para cada fixo tal que , o conjunto contém todos os tais que . Isso mostra que o conjunto é ilimitado para baixo (vai até ) dentro da faixa.
Passo 6
Instrução prática, passo a passo, para desenhar o gráfico (faça isto na sua folha):
- Desenhe os eixos coordenados
- . - Trace a reta vertical
e a reta vertical ; marque-as claramente e indique que são incluídas (linhas contínuas). - Desenhe a reta
, equivalente a ; marque os pontos e para posicioná-la; também desenhe-a contínua. - Marque os pontos de interseção da reta
com as verticais: e . - Sombreie (ou pinte) a região que está entre as retas
e e que está abaixo da reta . Não sombreie fora da faixa vertical. - Verifique com um ponto interior: por exemplo
está entre e e satisfaz , logo deve estar sombreado. Já não deve estar sombreado porque é falso.
Passo 7
Resumo geométrico e observações finais:
- Geometricamente,
é a região do plano delimitada lateralmente pelas retas verticais e , limitada superiormente pelo segmento da reta entre e , e ilimitada para baixo (vai até em ). Todas as fronteiras mencionadas pertencem ao conjunto. - Em notação curta:
. - Dica para a prova: sempre desenhe as retas das igualdades, use um ponto teste para saber qual semiplano escolher e verifique se as fronteiras são incluídas pelos símbolos
ou .