Representar graficamente o conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem as condições abaixo.
-infty <= r <= infty e 2 pi3 <= theta <= 4 pi3

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no plano cartesiano o conjunto de pontos dados em coordenadas polares por
-infty <= r <= infty e tfrac2pi3 <= theta <= tfrac4pi3. O conteúdo é coordenadas polares e seu mapeamento para o plano (x,y), lembrando que valores de r<0 “invertem” a direção do vetor em pi.

Passo 2

As fronteiras vêm de
theta = tfrac2pi3 e theta = tfrac4pi3, que são retas passando pela origem com ângulos de 120^circ e 240^circ. Em coordenadas cartesianas elas têm equações
y = tanl(tfrac2pi3r)x = -raiz3,x
e
y = tanl(tfrac4pi3r)x = raiz3,x

Passo 3

Para r>=0, a condição tfrac2pi3<=theta<=tfrac4pi3 descreve um setor fechado de abertura 120^circ voltado para a esquerda, ou seja, o conjunto de pontos cujo ângulo polar real está entre 120^circ e 240^circ.

Passo 4

Para r<0, cada ponto (r,theta) com thetain[tfrac2pi3,tfrac4pi3] coincide com (|r|,theta+pi). Assim geramos outro setor de abertura 120^circ apontando para a direita, correspondente a ângulos efetivos em [300^circ,360^circ]cup[0^circ,60^circ].

Passo 5

Portanto, o gráfico é a união de dois setores fechados de abertura 120^circ simétricos em relação à origem: um para r>=0 entre as retas
y=-raiz3x e y=raiz3x à esquerda e outro, via r<0, espelhado à direita.

Resposta

O conjunto é a união de dois setores de abertura 120^circ delimitados pelas retas
y=-raiz3x e y=raiz3x: um setor voltado para a esquerda (para r>=0) e seu simétrico espelhado para a direita (para r<0).

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