1{ }^{\text {a }} Questão. (1,5)
O máximo valor admissível de cada uma das reações é 360 N . Desprezando o peso da viga, determine o intervalo de valores da distancia d para o qual a viga está segura

Passo 1

O enunciado fornecido diz: o máximo admissível de cada uma das reações é 360\\ \text{N}. Desprezando o peso da viga, pede-se determinar o intervalo de valores da distância d para o qual a viga está segura.
Informações que o enunciado NÃO fornece (e que são essenciais): a figura da viga (posição dos apoios), o comprimento total da viga L, a(s) carga(s) aplicada(s) (tipo: carga concentrada, carga distribuída; magnitude(es) P, posição(ões) relativa(s) aos apoios).
Conclusão imediata: sem a figura e sem a especificação das cargas e do espaçamento dos apoios não há como obter um valor numérico único para o intervalo de d. A determinação das reações depende exatamente dessas informações.

Passo 2

Por que a figura e os dados faltantes são essenciais? Aqui explico passo a passo o que normalmente precisamos e por quê.
  • Para calcular reações usamos as equações de equilíbrio estático: soma das forças verticais igual a zero e soma dos momentos igual a zero. Essas equações dependem de quantas cargas existem, suas magnitudes e posições e da posição dos apoios.
  • Por exemplo, se houver uma única carga concentrada P aplicada em uma viga simplesmente apoiada em dois apoios (esquerdo A e direito B), as reações R_A e R_B dependem de P, do comprimento total L e da posição d da carga medida a partir de um apoio. Se houver várias cargas ou uma carga distribuída, as fórmulas mudam.
    Portanto, antes de calcular precisa-se da configuração completa (tipo de apoio, L, P, posições).

Passo 3

Agora eu ensino o procedimento concreto para o caso mais comum — que costuma aparecer em provas — e que provavelmente é o que o professor queria: uma viga simplesmente apoiada com comprimento L, com uma carga concentrada P aplicada a uma distância d do apoio da esquerda A. Vou mostrar como se obtêm as reações e como usar o limite 360\\ \text{N}.
  1. Definições e convenções:
    • L = comprimento total da viga (distância entre os apoios A e B).
    • P = magnitude da carga concentrada aplicada sobre a viga.
    • d = distância da carga ao apoio A (medida ao longo da viga).
    • R_A e R_B = reações verticais nos apoios A e B, respectivamente.
  2. Equilíbrio das forças verticais: a viga está em equilíbrio vertical, logo R_A + R_B - P = 0 \quad\Rightarrow\quad R_A + R_B = P.Explicação: a soma das forças para cima (reações) deve igualar a soma das forças para baixo (carga P).
  3. Equilíbrio de momentos (momento em torno de A): a soma dos momentos das forças em relação a A é zero. Tomando momentos positivos num sentido (por exemplo, horário negativo, anti-horário positivo), temos: o momento devido a R_B é R_B\cdot L (tende a equilibrar), e o momento devido a P é P\cdot d. Assim, pelo equilíbrio de momentos em A: R_B\cdot L - P\cdot d = 0 \quad\Rightarrow\quad R_B = \frac{P d}{L}.Explicação: o braço de alavanca de R_B em relação a A é L; o braço de P é d.
  4. Com R_B encontrado, R_A segue por soma das forças verticais: R_A = P - R_B = P - \frac{P d}{L} = P\left(1 - \frac{d}{L}\right) = \frac{P(L-d)}{L}.Portanto, para este caso padrão temos as fórmulas essenciais: R_A = \frac{P(L-d)}{L},\qquad R_B = \frac{P d}{L}.

Passo 4

Como usar essas fórmulas para garantir que nenhuma reação exceda 360\\ \text{N}.
  1. Condição de segurança: ambas as reações devem satisfazer R_A \le 360\quad\text{e}\quad R_B \le 360.
  2. Substituindo as expressões: \frac{P(L-d)}{L} \le 360 \quad\text{e}\quad \frac{P d}{L} \le 360.
  3. Resolva cada desigualdade para d:
    • Da segunda desigualdade, multiplicando ambos os lados por L/P (assumindo P>0 e L>0): d \le \frac{360\,L}{P}.Interpretação: a carga não pode ficar muito próxima de B (grande d) caso isso faça R_B>360.
    • Da primeira desigualdade: \frac{P(L-d)}{L} \le 360 \quad\Rightarrow\quad L-d \le \frac{360\,L}{P} \quad\Rightarrow\quad d \ge L - \frac{360\,L}{P}.Interpretação: a carga não pode ficar muito próxima de A (pequeno d) caso isso faça R_A>360.
  4. Combinando ambas as desigualdades obtemos o intervalo permitido para d: L - \frac{360\,L}{P} \le d \le \frac{360\,L}{P}.Podemos factorizar L: d \in \left[\,L\!\left(1 - \frac{360}{P}\right),\; L\!\left(\frac{360}{P}\right)\right].

Passo 5

Interpretações importantes e casos especiais (para você não se perder na prova):
  • Para que o intervalo acima faça sentido (isto é, o limite inferior menor ou igual ao limite superior) precisamos que L\!\left(1 - \frac{360}{P}\right) \le L\!\left(\frac{360}{P}\right).Dividindo por L>0 obtemos 1 - \dfrac{360}{P} \le \dfrac{360}{P}, isto é 1 \le \dfrac{720}{P} ou P \le 720\\ \text{N}.
    • Se P>720\\ \text{N} então não existe posição d que mantenha ambas as reações \le 360\\ \text{N}: a carga é grande demais para que ambos os apoios carreguem menos que 360\\ \text{N} simultaneamente.
    • Se P=720\\ \text{N} o intervalo reduz-se a um único ponto: d=L/2 (carga centralizada).
    • Se P<720\\ \text{N} então existe um intervalo não vazio de posições d que satisfazem a condição.
  • Verifique também que os limites obtidos fiquem dentro do domínio físico 0\le d\le L. Sempre que na prova aparecer um limite fora dessa faixa, você deve consertar para 0 ou L conforme o caso.
  • Se o problema original tiver mais cargas ou outro tipo de apoio (engaste, voladuto, carga distribuída), as expressões de R_A e R_B mudam: o procedimento é sempre o mesmo — escrever equações de equilíbrio e impor \le 360 em cada reação — mas as fórmulas específicas mudam.

Passo 6

Exemplo numérico didático (para você ver o procedimento aplicado): suponha que na prova a viga tenha L=2{,}0\\ \text{m} e exista uma carga P=600\\ \text{N} concentrada a uma distância d de A. Aplicando a fórmula do passo anterior:
  • Limite superior: d \le \dfrac{360\,L}{P} = \dfrac{360\cdot 2{,}0}{600} = 1{,}2\\ \text{m}.
  • Limite inferior: d \ge L - \dfrac{360\,L}{P} = 2{,}0 - 1{,}2 = 0{,}8\\ \text{m}.
    Logo o intervalo de segurança seria d\in[0{,}8\\ \text{m},\,1{,}2\\ \text{m}]. Repare que o intervalo é centrado em L/2=1{,}0\\ \text{m} porque para P dado as reações se equilibram quando a carga está centralizada. Esse exemplo mostra exatamente como aplicar as fórmulas na prova: calcule R_A e R_B em função de d, imponha as desigualdades e isole d.

Passo 7

Resumo do método que você deve seguir na prova (passo a passo curto e decorável):
  1. Identifique a configuração (apoios, L, cargas P_i e posições).
  2. Escreva as equações de equilíbrio (soma das forças verticais = 0; soma dos momentos = 0) para determinar as reações em função de d.
  3. Imponha que cada reação satisfaz R \le 360.
  4. Resolva as desigualdades para d. Verifique consistência com 0\le d\le L.
  5. Cheque casos especiais (carga muito grande, múltiplas soluções, etc.).

Resposta

Não é possível determinar numericamen­te o intervalo de d porque a figura (configuração dos apoios, comprimento L e magnitude/posição das cargas P) não foi fornecida.

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