Questão.
O máximo valor admissível de cada uma das reações é 360 N . Desprezando o peso da viga, determine o intervalo de valores da distancia
para o qual a viga está segura
O máximo valor admissível de cada uma das reações é 360 N . Desprezando o peso da viga, determine o intervalo de valores da distancia
Passo 1
O enunciado fornecido diz: o máximo admissível de cada uma das reações é
. Desprezando o peso da viga, pede-se determinar o intervalo de valores da distância
para o qual a viga está segura.
Informações que o enunciado NÃO fornece (e que são essenciais): a figura da viga (posição dos apoios), o comprimento total da viga , a(s) carga(s) aplicada(s) (tipo: carga concentrada, carga distribuída; magnitude(es)
, posição(ões) relativa(s) aos apoios).
Conclusão imediata: sem a figura e sem a especificação das cargas e do espaçamento dos apoios não há como obter um valor numérico único para o intervalo de . A determinação das reações depende exatamente dessas informações.
Informações que o enunciado NÃO fornece (e que são essenciais): a figura da viga (posição dos apoios), o comprimento total da viga
Conclusão imediata: sem a figura e sem a especificação das cargas e do espaçamento dos apoios não há como obter um valor numérico único para o intervalo de
Passo 2
Por que a figura e os dados faltantes são essenciais? Aqui explico passo a passo o que normalmente precisamos e por quê.
- Para calcular reações usamos as equações de equilíbrio estático: soma das forças verticais igual a zero e soma dos momentos igual a zero. Essas equações dependem de quantas cargas existem, suas magnitudes e posições e da posição dos apoios.
- Por exemplo, se houver uma única carga concentrada
aplicada em uma viga simplesmente apoiada em dois apoios (esquerdo e direito ), as reações e dependem de , do comprimento total e da posição da carga medida a partir de um apoio. Se houver várias cargas ou uma carga distribuída, as fórmulas mudam.
Portanto, antes de calcular precisa-se da configuração completa (tipo de apoio,, , posições).
Passo 3
Agora eu ensino o procedimento concreto para o caso mais comum — que costuma aparecer em provas — e que provavelmente é o que o professor queria: uma viga simplesmente apoiada com comprimento
, com uma carga concentrada
aplicada a uma distância
do apoio da esquerda
. Vou mostrar como se obtêm as reações e como usar o limite
.
- Definições e convenções:
-
= comprimento total da viga (distância entre os apoios e ). -
= magnitude da carga concentrada aplicada sobre a viga. -
= distância da carga ao apoio (medida ao longo da viga). -
e = reações verticais nos apoios e , respectivamente.
-
- Equilíbrio das forças verticais: a viga está em equilíbrio vertical, logo
Explicação: a soma das forças para cima (reações) deve igualar a soma das forças para baixo (carga ). - Equilíbrio de momentos (momento em torno de
): a soma dos momentos das forças em relação a é zero. Tomando momentos positivos num sentido (por exemplo, horário negativo, anti-horário positivo), temos: o momento devido a é (tende a equilibrar), e o momento devido a é . Assim, pelo equilíbrio de momentos em : Explicação: o braço de alavanca de em relação a é ; o braço de é . - Com
encontrado, segue por soma das forças verticais: Portanto, para este caso padrão temos as fórmulas essenciais:
Passo 4
Como usar essas fórmulas para garantir que nenhuma reação exceda
.
- Condição de segurança: ambas as reações devem satisfazer
- Substituindo as expressões:
- Resolva cada desigualdade para
: - Da segunda desigualdade, multiplicando ambos os lados por
(assumindo e ): Interpretação: a carga não pode ficar muito próxima de (grande ) caso isso faça . - Da primeira desigualdade:
Interpretação: a carga não pode ficar muito próxima de (pequeno ) caso isso faça .
- Da segunda desigualdade, multiplicando ambos os lados por
- Combinando ambas as desigualdades obtemos o intervalo permitido para
: Podemos factorizar :
Passo 5
Interpretações importantes e casos especiais (para você não se perder na prova):
- Para que o intervalo acima faça sentido (isto é, o limite inferior menor ou igual ao limite superior) precisamos que
Dividindo por obtemos , isto é ou . - Se
então não existe posição que mantenha ambas as reações : a carga é grande demais para que ambos os apoios carreguem menos que simultaneamente. - Se
o intervalo reduz-se a um único ponto: (carga centralizada). - Se
então existe um intervalo não vazio de posições que satisfazem a condição.
- Se
- Verifique também que os limites obtidos fiquem dentro do domínio físico
. Sempre que na prova aparecer um limite fora dessa faixa, você deve consertar para ou conforme o caso. - Se o problema original tiver mais cargas ou outro tipo de apoio (engaste, voladuto, carga distribuída), as expressões de
e mudam: o procedimento é sempre o mesmo — escrever equações de equilíbrio e impor em cada reação — mas as fórmulas específicas mudam.
Passo 6
Exemplo numérico didático (para você ver o procedimento aplicado): suponha que na prova a viga tenha
e exista uma carga
concentrada a uma distância
de
. Aplicando a fórmula do passo anterior:
- Limite superior:
- Limite inferior:
Logo o intervalo de segurança seria. Repare que o intervalo é centrado em porque para dado as reações se equilibram quando a carga está centralizada. Esse exemplo mostra exatamente como aplicar as fórmulas na prova: calcule e em função de , imponha as desigualdades e isole .
Passo 7
Resumo do método que você deve seguir na prova (passo a passo curto e decorável):
- Identifique a configuração (apoios,
, cargas e posições). - Escreva as equações de equilíbrio (soma das forças verticais = 0; soma dos momentos = 0) para determinar as reações em função de
. - Imponha que cada reação satisfaz
. - Resolva as desigualdades para
. Verifique consistência com . - Cheque casos especiais (carga muito grande, múltiplas soluções, etc.).
Resposta
Não é possível determinar numericamente o intervalo de
porque a figura (configuração dos apoios, comprimento
e magnitude/posição das cargas
) não foi fornecida.