Use a Transformada de Laplace para obter resolver cada um dos problemas a valores iniciais,
ly^prime prime+2 y^prime+3 y=de

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y''+2y'+3y=de
usando a Transformada de Laplace. Vamos lidar com derivadas, impulso de e degrau deslocado u10(t).

Passo 2

Aplicamos Laplace em ambos os lados e usamos
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0)
Isso dá
(s^2+2s+3)Y(s)-tfrac12=underbrace Lde

Passo 3

Isolamos Y(s) e separamos em três parcelas:
$$Y(s)=\frac{\tfrac12}{s2+2s+3}+\frac{e{-5s}}{s2+2s+3}+\frac{e{-10s}}{s,(s^2+2s+3)}.
$$
Chamemos-as de Y(s)=tfrac12s^2+2s+3+e^-5ss^2+2s+3+e^-10ss,(s^2+2s+3) , Y0(s) e Yde.

Passo 4

Para Y0(s)=tfrac1/2s^2+2s+3 fazemos a forma completando o quadrado:
$$s2+2s+3=(s+1)2+2.
s^2+2s+3=(s+1)^2+2 \mathcal L^{-1}{Y_0(s)}= frac1{2},e{-t}\frac{1}{\sqrt2}\sin(\sqrt2t)=\frac{1}{2\sqrt2}e{-t}\sin(\sqrt2t).
$$

Passo 5

Para a parte do impulso,
$$Y_{\delta}(s)=\frac{e{-5s}}{s2+2s+3},
Ydeg(t)=\mathcal L{-1}{1/(s2+2s+3)}=\frac1{\sqrt2}e^{-t}\sin(\sqrt2t),
g(t)= L^-11/(s^2+2s+3)=1raiz2e^-tsin(raiz2t), ã\mathcal L{-1}{Y_{\delta}(s)}=g(t-5),u(t-5)=\frac1{\sqrt2}e{-(t-5)}\sin\bigl(\sqrt2,(t-5)\bigr),u(t-5).
$$

Passo 6

Para o degrau deslocado,
$$Y_u(s)=\frac{e{-10s}}{s}\cdot\frac1{s2+2s+3}.
Yu(s)=e^-10sscdot1s^2+2s+3 éçãy_u(t)=\int_0^{t-10}g®,dr;u(t-10)
=\frac{1}{3}\Bigl[1-e^{-(t-10)}\bigl(\cos(\sqrt2(t-10))+\tfrac1{\sqrt2}\sin(\sqrt2(t-10))\bigr)\Bigr]u(t-10).
$$

Resposta

A solução completa é
y(t)=12raiz2e^-tsin(raiz2t) +1raiz2e^-(t-5)sinl(raiz2(t-5)r)u(t-5) +13l[1-e^-(t-10)l(cos(raiz2(t-10))+tfrac1raiz2sin(raiz2(t-10))r)r]u(t-10)

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