Represente na forma algébrica os seguintes números complexos:
(-1+i)^{7}

Passo 1

O problema pede para calcular ({-1}+i)^{7} e escrever o resultado na forma a+bi. O conteúdo principal é potência de número complexo e uma boa estratégia é usar a forma trigonométrica (De Moivre):
  1. Converter -1+i para a forma r(\cos\theta + i\sin\theta).
  2. Aplicar o Teorema de De Moivre: [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^{n} = r^{n}(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)).
  3. Voltar para a forma algébrica.

Passo 2

Calcular o módulo r e o argumento \theta de z = -1 + i.
O módulo é
r = \sqrt{(-1)^{2} + (1)^{2}} = \sqrt{2}.
Para o argumento, notamos que o ponto (-1,1) está no segundo quadrante e
\tan\theta = \frac{1}{-1} = -1,
logo o ângulo principal é
\theta = \frac{3\pi}{4}.
Assim
-1 + i = \sqrt{2}\,\bigl(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\bigr).

Passo 3

Aplicar o Teorema de De Moivre para elevar ao expoente 7:
(-1+i)^{7} = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{7} \Bigl[\cos\bigl(7\cdot\tfrac{3\pi}{4}\bigr)+i\sin\bigl(7\cdot\tfrac{3\pi}{4}\bigr)\Bigr].
O módulo elevado fica
\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{7} = 2^{7/2} = 8\sqrt{2}.

Passo 4

Simplificar o argumento múltiplo:
7\cdot\frac{3\pi}{4} = \frac{21\pi}{4}.
Como \frac{21\pi}{4} - 2\pi\cdot2 = \frac{21\pi - 16\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}, temos
\cos\frac{21\pi}{4} = \cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin\frac{21\pi}{4} = \sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Multiplicar o módulo pela parte trigonométrica:
8\sqrt{2}\,\Bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2} - i\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = 8\sqrt{2}\,\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) \;+\; 8\sqrt{2}\,\bigl(-i\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr).
Como \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, cada termo vira
8\cdot \frac{2}{2} = 8,
portanto o resultado é
-8 \;-\; 8\,i.

Resposta

-8 - 8i

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