Represente na forma algébrica os seguintes números complexos:
(1+i \sqrt{3})^{99}

Passo 1

O enunciado pede para você escrever na forma algébrica (isto é, a+bi) o número complexo
(1 + i\sqrt{3})^{99}.
O que vamos usar aqui é a representação polar de números complexos e o Teorema de De Moivre, que diz que, se
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr),
então
z^n = r^n\bigl(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\bigr).

Passo 2

Calculemos o módulo r e o argumento \theta de
1 + i\sqrt{3}.
O módulo é
r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2,
e o argumento, como \tan\theta = \tfrac{\sqrt{3}}{1}, é
\theta = \frac{\pi}{3}.
Logo podemos escrever
1 + i\sqrt{3} = 2\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{3}) + i\sin(\tfrac{\pi}{3})\bigr).

Passo 3

Aplicando o Teorema de De Moivre para elevar ao expoente 99, temos
(1 + i\sqrt{3})^{99} = \bigl[\,2(\cos(\tfrac{\pi}{3}) + i\sin(\tfrac{\pi}{3}))\bigr]^{99} = 2^{99}\bigl(\cos(99\cdot\tfrac{\pi}{3}) + i\sin(99\cdot\tfrac{\pi}{3})\bigr).

Passo 4

Observe que
99\cdot \frac{\pi}{3} = 33\pi.
E sabemos que para qualquer inteiro k,
\cos(k\pi) = (-1)^k, \quad \sin(k\pi) = 0.
Aqui k=33, logo
\cos(33\pi) = (-1)^{33} = -1, \quad \sin(33\pi) = 0.
Substituindo,
(1 + i\sqrt{3})^{99} = 2^{99}\bigl(-1 + i\cdot 0\bigr) = -2^{99}.

Resposta

-2^{99}
(ou, na forma a+bi, -2^{99} + 0\,i).

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