Represente na forma algébrica os seguintes números complexos:
\frac{(1+i)^{9}}{(1-i)^{7}}

Passo 1

O enunciado pede a forma algébrica de
\frac{(1+i)^{9}}{(1-i)^{7}}.
O conteúdo é potência e quociente de números complexos; vamos usar a forma polar para simplificar as potências e depois converter de volta pra a+bi.

Passo 2

Calculamos módulo e argumento de 1+i e de 1-i.
O módulo de 1+i é
|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2},
e seu argumento \theta_{1}=\arg(1+i)=\tfrac{\pi}{4}.
O módulo de 1-i é
|1-i|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2},
e seu argumento \theta_{2}=\arg(1-i)=-\tfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Em forma polar temos
1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}, \qquad 1-i = \sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}.
Aplicando a fórmula (re^{i\theta})^{n}=r^{n}e^{in\theta}, vem
(1+i)^{9} = (\sqrt{2})^{9} e^{i\,9\pi/4}, \quad (1-i)^{7} = (\sqrt{2})^{7} e^{-i\,7\pi/4}.

Passo 4

Fazendo o quociente
\frac{(1+i)^{9}}{(1-i)^{7}} = \frac{(\sqrt{2})^{9}}{(\sqrt{2})^{7}} \,e^{i\,(9\pi/4 -(-7\pi/4))} = (\sqrt{2})^{2}\,e^{i\,16\pi/4} =2\,e^{i\,4\pi}.
Como e^{i\,4\pi}=\cos(4\pi)+i\sin(4\pi)=1, resulta
\frac{(1+i)^{9}}{(1-i)^{7}} = 2\cdot 1 = 2.

Resposta

2

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