Represente na forma algébrica os seguintes números complexos:
\left(\frac{1+i \sqrt{3}}{1-i}\right)^{30}

Passo 1

O enunciado pede para representar na forma algébrica o número complexo \displaystyle\Bigl(\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}\Bigr)^{30}.
O conteúdo envolve transformação de quociente de complexos em forma trigonométrica (ou exponencial) e, em seguida, aplicação de potência de número complexo.

Passo 2

Vamos escrever \displaystyle z = \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}
em forma polar. Para isso, achamos módulo e argumento de numerador e denominador separadamente:
O numerador é 1+i\sqrt{3}:
r_1 = |1+i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = 2, \quad \arg(1+i\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}.
O denominador é 1 - i:
r_2 = |1-i| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}, \quad \arg(1-i) = -\frac{\pi}{4}.
Logo,
r = \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{3} - \Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr) = \frac{7\pi}{12}.
Assim,
\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i} = \sqrt{2}\,e^{i\,\frac{7\pi}{12}}.

Passo 3

Agora elevamos ao expoente 30 usando \displaystyle (re^{i\theta})^n = r^n e^{i n\theta}:
\Bigl(\sqrt{2}\,e^{i\,\frac{7\pi}{12}}\Bigr)^{30} = (\sqrt{2})^{30}\;e^{i\,(30\cdot\frac{7\pi}{12})}.
Calculamos o módulo elevado:
(\sqrt{2})^{30} = (2^{1/2})^{30} = 2^{15} = 32768.

Passo 4

O ângulo fica
30\cdot\frac{7\pi}{12} = \frac{210\pi}{12} = \frac{35\pi}{2}.
Reduzindo módulo 2\pi:
\frac{35\pi}{2} = 16\pi + \frac{3\pi}{2},
portanto
e^{i\,\frac{35\pi}{2}} = e^{i\,\frac{3\pi}{2}} = \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = -\,i.

Passo 5

Multiplicando o módulo pela parte exponencial, obtemos
32768 \;\times(-\,i) = -\,32768\,i.
Assim, a forma algébrica é 0 - 32768\,i.

Resposta

-32768\,i

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