Resolva as seguintes equações em \mathbb{C} :
|z|-z=1+2 i

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{C} a equação
|z| - z = 1 + 2i.
Aqui vamos usar a escrita z = x + iy, com x,y\in\mathbb{R}, e lembrar que |z| = \sqrt{x^2+y^2}. Em seguida, vamos separar em parte real e parte imaginária para obter um sistema em x e y.

Passo 2

Escrevendo z = x + iy, temos
|z| - z = \sqrt{x^2+y^2}\;-\;(x + iy) = \bigl(\sqrt{x^2+y^2}-x\bigr)\;-\;i\,y.
Devemos igualar isso a 1+2i.

Passo 3

Compare parte real e parte imaginária:
\begin{cases} \sqrt{x^2+y^2}-x = 1,\\\\ -\,y = 2. \end{cases}
Da segunda equação vem imediatamente y = -2.

Passo 4

Substituindo y=-2 em \sqrt{x^2+y^2}-x=1, obtemos
\sqrt{x^2+(-2)^2}-x = 1 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^2+4} = x+1.
Para que o lado direito seja não negativo (pois a raiz quadrada é \ge0), é necessário x+1\ge0, isto é, x\ge -1. Agora elevamos ao quadrado:
x^2 + 4 = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \quad\Longrightarrow\quad 4 = 2x + 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{3}{2}.
E x=\tfrac32 satisfaz x\ge -1.

Passo 5

Assim, a única solução é
x = \tfrac32, \quad y = -2,
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z = \tfrac{3}{2} \;-\; 2i.

Resposta

\displaystyle z = \tfrac{3}{2} - 2i

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