Represente f(x) na forma da integral (13).
f(x)=\left\{\begin{array}{ccr}a-x & \text { se } & 0<x<a \\\\ 0 & \text { se } & x>a\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} a-x & \text{se } 0<x<a,\\[4pt] 0 & \text{se } x>a, \end{cases}
e pede que a representemos na “forma da integral (13)”. Aqui temos claramente duas informações relevantes: o valor de f(x) quando 0<x<a é a-x e quando x>a é 0. Não foi dado o valor para x\le 0, então a representação integral que encontrarmos deve coincidir com essas duas situações para x>0.]

Passo 2

Vou usar a função degrau (Heaviside) H\), que é uma forma padrão de transformar condições do tipo "se \(s>x\) então 1, caso contrário 0". Definição usual: \[H(t)=\begin{cases} 1 & \text{se } t>0,\\[4pt] 0 & \text{se } t\le 0. \end{cases}
Observe que H(s-x)\] vale \(1 quando s>x e vale 0 quando s\le x. Essa função é útil para “ligar” e “desligar” integrandos em intervalos dependentes de x.]

Passo 3

Considere a integral
I(x)=\int_{0}^{a} H(s-x)\,ds.
Vou analisar I(x) em cada caso para ver se coincide com f(x).

Passo 4

Caso 0<x<a: para s variando em [0,a] temos que H(s-x)=0 quando 0\le s\le x e H(s-x)=1 quando x<s\le a. Então
I(x)=\int_{0}^{a} H(s-x)\,ds=\int_{0}^{x}0\,ds+\int_{x}^{a}1\,ds= a-x,
que é exatamente f(x) nesse intervalo.

Passo 5

Caso x>a: para todo s\in[0,a] temos s-x\le 0, logo H(s-x)=0 para todo s\in[0,a]. Assim
I(x)=\int_{0}^{a}0\,ds=0,
que coincide com f(x) quando x>a.

Passo 6

Portanto I(x) representa corretamente a função dada nos dois ramos do enunciado (para x>0). Outra forma equivalente, usando a função “parte positiva”, é
f(x)=(a-x)_+=\max\{a-x,0\},
mas a forma integral pedida é a com o degrau.

Resposta

f(x)=\int_{0}^{a} H(s-x)\,ds

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