$\int_{-1}^{0} e^{-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{-1}^{0} e^{-2 x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é e^{-2 x}.
  • Os limites de integração são a=-1 (limite inferior) e b=0 (limite superior).
  • Trata-se de calcular uma integral definida (ou seja, um número).

Passo 2

Entender a primitiva (antiderivada) de e^{ax} é a chave. A fórmula geral é
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a} e^{a x} + C,
onde a é uma constante (diferente de zero), x é a variável de integração e C é a constante de integração. Por que isso funciona? Porque, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{a} e^{a x}\right)=\frac{1}{a}\cdot a e^{a x}=e^{a x},
então \frac{1}{a} e^{a x} é realmente uma antiderivada de e^{a x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso, aqui a=-2. Logo uma primitiva de e^{-2x} é
F(x)=-\frac{1}{2}e^{-2x}+C.
Também dá para ver usando substituição: coloque u=-2x, então du=-2\,dx, daí \int e^{-2x}dx=-\tfrac{1}{2}\int e^{u}du=-\tfrac{1}{2}e^{u}+C=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}+C. Mesma coisa.

Passo 4

Usamos agora o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f (ou seja, F'=f), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
No nosso caso f(x)=e^{-2x} e escolhemos F(x)=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}.

Passo 5

Calcule F(b)-F(a) com a=-1 e b=0.
Avaliações:
F(0)=-\tfrac{1}{2}e^{-2\cdot 0}=-\tfrac{1}{2}e^{0}=-\tfrac{1}{2},
F(-1)=-\tfrac{1}{2}e^{-2\cdot(-1)}=-\tfrac{1}{2}e^{2}.
Diferença:
\int_{-1}^{0} e^{-2x}\,dx = F(0)-F(-1) = \left(-\tfrac{1}{2}\right)-\left(-\tfrac{1}{2}e^{2}\right) = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}e^{2}.

Passo 6

Simplificando a expressão final, fatorando \tfrac{1}{2}:
\int_{-1}^{0} e^{-2x}\,dx = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{2}-1\bigr).

Resposta

\tfrac{1}{2}\bigl(e^{2}-1\bigr)

Exercícios relacionados