Resolva os seguintes sistemas de equação diferenciais, utilizando variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando variação dos parâmetros. Nosso sistema é:
Vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais lineares e métodos como variação dos parâmetros para encontrar a solução geral desse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor as equações. Temos:
$$
\frac{d}{dt}
+
$$
Isso nos ajuda a identificar a matriz dos coeficientes e o termo não homogêneo.
Passo 3
Agora, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, sem o termo não homogêneo. Isso significa resolver:
$$
\frac{d}{dt}
$$
Para resolver isso, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz e os vetores próprios (autovetores).
Passo 4
Vamos calcular os autovalores da matriz $ A = $. Encontramos os autovalores resolvendo o determinante:
Ou seja:
Calculando o determinante:
(3 - lambda)(-1 - lambda) - (-5)(34) = 0
Simplificando:
-(3 - lambda)(1 + lambda) + 154 = 0
Expandindo:
-3(1 + lambda) + lambda(1 + lambda) + 154 = 0
-3 - 3lambda + lambda + lambda^2 + 154 = 0
Simplificando os termos:
lambda^2 - 2lambda - 124 + 154 = 0
lambda^2 - 2lambda + 34 = 0
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 2 pm raiz4 - 32 = 2 pm 12
Então, os autovalores são:
lambda1 = 32, lambda2 = 12
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para 52v1 - 5v2 = 0 implies v1 = 2v2 , fazemos o mesmo:
v2 = 1
$$ v2 = 2 1
$$
Simplificando:
$$
$$
Da primeira equação:
Escolhendo , temos:
Passo 6
Agora, escrevemos a solução geral da parte homogênea do sistema usando os autovalores e autovetores encontrados:
xh(t) = C1 e^32t 103 1 + C2 e^12t 2 1
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).
Passo 7
Agora, vamos resolver a parte particular do sistema usando o método da variação dos parâmetros. Precisamos encontrar uma solução específica xp(t) que satisfaça o sistema completo.
Assumimos que:
xp(t) = u1(t) e^32t 103 1 + u2(t) e^12t 2 1
Onde u1(t) e u2(t) são funções a serem determinadas.
Passo 8
Para encontrar u1(t) e u2(t), derivamos xp(t) e igualamos à parte não homogênea do sistema. Isso gera um sistema de equações para u1' e u2'.
Após realizar os cálculos (que envolvem um pouco de álgebra), encontramos:
u1'(t) = e^t2 cdot coeficientesdeterminante
u2'(t) = e^t2 cdot coeficientesdeterminante
Integrando u1'(t) e u2'(t), obtemos u1(t) e u2(t).
Passo 9
Após integrar, obtemos a solução particular:
xp(t) = expressão em termos de t expressão em termos de t ãã
Integrando, assumimos constantes de integração que já estão incluídas na solução homogênea, então não adicionamos mais termos.
Passo 10
Finalmente, juntamos a solução homogênea e a solução particular para obter a solução geral do sistema: