Represente na forma polar.
ii- (i1+i)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar na forma polar a expressão (i1+i)^3. Isso envolve trabalhar com números complexos, especificamente convertendo de forma algébrica para a forma polar. Para isso, vamos precisar entender como achar o módulo e o argumento dos números complexos envolvidos e aplicar as propriedades de potências na forma polar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a fração dentro do parênteses: i1+i. Para facilitar, vamos representar tanto o numerador quanto o denominador na forma polar.

Passo 3

Começando pelo numerador, que é i. Na forma polar, um número complexo é representado por r(cos theta + isin theta), onde r é o módulo e theta é o argumento.
Para i:
  • O módulo r = |i| = 1.
  • O argumento theta = pi2 radianos, já que i está no eixo imaginário positivo.
Então, i na forma polar é:
1 ( cos(pi2) + isin(pi2) )

Passo 4

Agora, vamos para o denominador, que é 1 + i. Para encontrar o módulo e o argumento:
  • Módulo r = raiz1^2 + 1^2 = raiz2.
  • Argumento theta = arctan(11) = pi4 radianos.
Então, 1 + i na forma polar é:
raiz2 ( cos(pi4) + isin(pi4) )

Passo 5

Agora, vamos dividir os dois números na forma polar. Quando dividimos dois números complexos em forma polar, dividimos os módulos e subtraímos os argumentos:
i1 + i = 1raiz2 ( cos(pi2 - pi4) + isin(pi2 - pi4) )
Simplificando o argumento:
pi2 - pi4 = pi4
Então:
i1 + i = 1raiz2 ( cos(pi4) + isin(pi4) )

Passo 6

Agora, queremos elevar essa expressão ao cubo: (i1+i)^3. Na forma polar, para elevar um número complexo a uma potência, elevamos o módulo à potência e multiplicamos o argumento pela potência.
Então:
  • Módulo: (1raiz2)^3 = 12^3/2 = 12raiz2.
  • Argumento: pi4 times 3 = 3pi4.
Portanto:
(i1+i)^3 = 12raiz2 ( cos(3pi4) + isin(3pi4) )

Resposta

A forma polar de (i1+i)^3 é:
12raiz2 ( cos(3pi4) + isin(3pi4) )

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