Riccati Equation. Uma equação sob a forma
é chamada de equação generalizada de Riccati. (a) Se uma solução - digamos,
- da equação acima é conhecida, mostre que a substituição
reduz a equação a uma equação linear na variåvel
. (b) Sabendo que
Ă© uma
use (a) para encontrar todas as outras soluçÔes desta equação.
Resp.
.
Resp.
Passo 1
Estamos olhando para a equação generalizada de Riccati
onde já conhecemos uma solução
. O objetivo é usar a substituição
para reduzir tudo a uma EDO linear em
.
Passo 2
Fazendo
, calculamos
e substituímos no lado direito
Como
satisfaz
, os termos com
se cancelam e, após multiplicar por
, obtemos a equação linear
Passo 3
No caso específico temos
que expande para
Logo
Passo 4
Pelo item (a) a ODE em
é
Aqui
$$2P u+Q=2x^3\cdot x+\Bigl(-2x^4+\tfrac1x\Bigr)=\frac1x,
\frac{dv}{dx}+\frac v x=-x^3.
\mu(x)=e^{\int\frac1x dx}=x.
$$
Passo 5
Multiplicando por
e observando que
, temos
Integrando,
ou seja
Passo 6
Retornando a
via
, obtemos
Renomeando
para a constante geral
, concluímos a família de soluções.
Passo 7
Todas as outras soluções da equação são:
, com
constante arbitrária.