Riccati Equation. Uma equação sob a forma
d yd x=P(x) y^2+Q(x) y+R(x)
é chamada de equação generalizada de Riccati. (a) Se uma solução - digamos, u(x) - da equação acima é conhecida, mostre que a substituição y=u+1 / v reduz a equação a uma equação linear na variåvel v. (b) Sabendo que u(x)=x é uma
d yd x=x^3(y-x)^2+y / x
use (a) para encontrar todas as outras soluçÔes desta equação.
Resp. .

Passo 1

Estamos olhando para a equação generalizada de Riccati
dydx=P(x)y^2+Q(x)y+R(x)
onde já conhecemos uma solução u(x). O objetivo é usar a substituição y=u+1/v para reduzir tudo a uma EDO linear em v.

Passo 2

Fazendo y=u+1/v, calculamos
dydx=dudx-1v^2dvdx
e substituímos no lado direito
Pl(u+1vr)^2+Ql(u+1vr)+R
Como u satisfaz u'=P u^2+Q u+R, os termos com u' se cancelam e, após multiplicar por v^2, obtemos a equação linear
dvdx+(2P u+Q)v=-P

Passo 3

No caso específico temos
dydx=x^3(y-x)^2+ yx
que expande para
x^3y^2-2x^4y+x^5+ yx
Logo
P(x)=x^3, Q(x)=-2x^4+1x, R(x)=x^5, u(x)=x

Passo 4

Pelo item (a) a ODE em v é
dvdx+[2P(x)u(x)+Q(x)]v=-P(x)
Aqui
$$2P u+Q=2x^3\cdot x+\Bigl(-2x^4+\tfrac1x\Bigr)=\frac1x,
2P u+Q=2x^3cdot x+l(-2x^4+tfrac1xr)=1x, ã
\frac{dv}{dx}+\frac v x=-x^3.
dvdx+ v x=-x^3 é
\mu(x)=e^{\int\frac1x dx}=x.
$$

Passo 5

Multiplicando por x e observando que xv)'=xv'+v, temos
(xv)'=-x^4
Integrando,
xv=-x^55+C
ou seja
v=Cx-x^45

Passo 6

Retornando a y via y=x+1/v, obtemos
y=x+1tfracCx-tfracx^45=x+5x5C-x^5
Renomeando 5C para a constante geral C, concluímos a família de soluções.

Passo 7

Todas as outras soluções da equação são: y=x+5xC-x^5, com C constante arbitrária.

Resposta

y=x+5xC-x^5

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