Verifique que as funções u(x, y) a seguir são harmônicas e encontre a função harmônica conjugada v(x, y) correspondente. Escreva a função analítica f(z)=u(x, y)+j v(x, y).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que u(x,y)=ln(x^2+y^2) é harmônica e achar uma função conjugada v(x,y) de modo que f(z)=u+jv seja analítica. Vamos usar teoria de funções de variável complexa: verificar De e depois aplicar as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de u.

Passo 3

Em bloco, escrevemos as derivadas de primeira ordem:
ux=2xx^2+y^2, uy=2yx^2+y^2
Agora calculamos as segundas derivadas:
uxx=partialpartial xl(2xx^2+y^2r)=2(x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2, uyy=partialpartial yl(2yx^2+y^2r)=2(x^2+y^2)-2y^2(x^2+y^2)^2
Somando, vemos que
uxx+uyy=2y^2-x^2(x^2+y^2)^2+2x^2-y^2(x^2+y^2)^2=0,
logo u é harmônica.

Passo 4

Agora usamos as equações de Cauchy–Riemann:
ux=2x/(x^2+y^2)
Como uy=2y/(x^2+y^2) e vy=2xx^2+y^2, vx=-2yx^2+y^2 , temos

Passo 5

Para achar v, integramos vy em relação a y:
v(x,y)=integral 2xx^2+y^2,dy=2arctanl(yxr)+h(x)
Derivando essa expressão em relação a x e igualando a vx=-2y/(x^2+y^2), encontramos h'(x)=0. Então h(x) é constante, que podemos tomar zero.

Passo 6

Concluímos que uma conjugada harmônica é
v(x,y)=2arctanl(yxr)
Logo a função analítica é
f(z)=u+jv=ln(x^2+y^2)+j,2arctanl(yxr),
que equivale a f(z)=ln(z^2) em um ramo apropriado.

Passo 7

Resposta

v(x,y)=2\arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) e f(z)=\ln(x2+y2)+j,2\arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=\ln(z^2).

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