Verifique que as funções
a seguir são harmônicas e encontre a função harmônica conjugada
correspondente. Escreva a função analítica
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é harmônica e achar uma função conjugada
de modo que
seja analítica. Vamos usar teoria de funções de variável complexa: verificar
e depois aplicar as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
.
Passo 3
Em bloco, escrevemos as derivadas de primeira ordem:
Agora calculamos as segundas derivadas:
Somando, vemos que
logo
é harmônica.
Passo 4
Agora usamos as equações de Cauchy–Riemann:
Como e
, temos
Como
Passo 5
Para achar
, integramos
em relação a
:
Derivando essa expressão em relação a
e igualando a
, encontramos
. Então
é constante, que podemos tomar zero.
Passo 6
Concluímos que uma conjugada harmônica é
Logo a função analítica é
que equivale a
em um ramo apropriado.
Passo 7
Resposta
v(x,y)=2\arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) e f(z)=\ln(x2+y2)+j,2\arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=\ln(z^2).