Represente a função f(x)=2 sen(x^3) em série de Maclaurin.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de Maclaurin da função f(x)=2sin(x^3). O conteúdo envolvido é expansão em série de Maclaurin, e vamos precisar da série de sin u e depois substituir u=x^3 e multiplicar por 2.

Passo 2

Começamos lembrando que a série de Maclaurin de sin u é
sin u=sumn=0^infty(-1)^nu^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Agora substituímos u=x^3 na expansão acima:
sin(x^3)=sumn=0^infty(-1)^n(x^3)^2n+1(2n+1)! =sumn=0^infty(-1)^nx^6n+3(2n+1)!

Passo 4

Por fim, multiplicamos toda a série por 2 para obter f(x)=2sin(x^3):
f(x)=2sumn=0^infty(-1)^nx^6n+3(2n+1)!

Passo 5

Opcionalmente, escrevendo os primeiros termos temos:
f(x)=2x^3-26x^9+2120x^15-cdots =2x^3-tfrac13x^9+tfrac160x^15-cdots

Resposta

2sumn=0^infty(-1)^nx^6n+3(2n+1)!

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