Encontre a série de Taylor de f(x)=cos ^2(x) em torno de a=pi3.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=cos²(x) em torno de a=π/3; vamos usar identidade trigonométrica e a definição de série de Taylor de coseno e seno para gerar a expansão em potências de h=x−π/3.

Passo 2

Usamos primeiro a identidade cos²(x)=½[1+cos(2x)]. Isso transforma f(x) numa combinação de uma constante e de cos(2x).

Passo 3

Definimos h=x−π/3. Então 2x=2(π/3+h)=2π/3+2h. Logo cos(2x)=cos(2π/3+2h)=cos(2π/3)cos(2h)−sin(2π/3)sin(2h). Como cos(2π/3)=−½ e sin(2π/3)=√3/2, obtemos
f(x)=½+½[−½cos(2h)−(√3/2)sin(2h)] =½ −¼cos(2h) −(√3/4)sin(2h).

Passo 4

Agora expandimos cos(2h) e sin(2h) nas suas séries de Taylor em torno de h=0:
cos(2h)=sumn=0^infty(-1)^n(2h)^2n(2n)!,
sin(2h)=sumn=0^infty(-1)^n(2h)^2n+1(2n+1)!

Passo 5

Substituindo essas séries em f(x) e recolhendo os coeficientes em potências de h, chegamos à expansão desejada.

Resposta

f(x)=12 - 14sumn=0^infty(-1)^n(2(x-tfracpi3))^2n(2n)! , -, raiz34sumn=0^infty(-1)^n(2(x-tfracpi3))^2n+1(2n+1)!

Exercícios relacionados