Sejam
e
. Calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular a integral de 0 a 1 do produto escalar entre dois vetores: $ F(t) = t,\mathbf{i} + \mathbf{j} + e^{t},\mathbf{k} $ e $ G(t) = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} $. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o produto escalar e a integração de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar $ F(t) \cdot G(t) $. O produto escalar entre dois vetores $ \mathbf{A} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k} $ e $ \mathbf{B} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k} $ é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa expressão de 0 a 1:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Somando tudo:
Resposta
A integral $ \int_{0}^{1} F(t) \cdot G(t) , dt $ é igual a $ \frac{1}{2} + e $.