Sejam F(t)=t i+j+epsilon^t k e G(t)=i+j+k. Calcule:
integral0^1 F(t) cdot G(t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular a integral de 0 a 1 do produto escalar entre dois vetores: $ F(t) = t,\mathbf{i} + \mathbf{j} + e^{t},\mathbf{k} $ e $ G(t) = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} $. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o produto escalar e a integração de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar $ F(t) \cdot G(t) $. O produto escalar entre dois vetores $ \mathbf{A} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k} $ e $ \mathbf{B} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k} $ é dado por:
F(t) cdot G(t)
Aplicando isso aos nossos vetores:
A = a1i + a2j + a3k

Passo 3

Agora, vamos integrar essa expressão de 0 a 1:
integral0^1 (t + 1 + e^t) , dt
Vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^1 t , dt = t^22 |0^1 = 12
integral0^1 1 , dt = t |0^1 = 1
integral0^1 e^t , dt = e^t |0^1 = e - 1
Somando tudo:
12 + 1 + (e - 1) = 12 + e

Resposta

A integral $ \int_{0}^{1} F(t) \cdot G(t) , dt $ é igual a $ \frac{1}{2} + e $.

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