Represente a função
por
(a) sua Série de Maclaurin e dê a região de validade desta representação;
(b) sua Série de Laurent para o domínio
.
(a) sua Série de Maclaurin e dê a região de validade desta representação;
(b) sua Série de Laurent para o domínio
Passo 1
O enunciado pede para expandir a função
em duas séries: a Série de Maclaurin (em torno de
) e a Série de Laurent válida para o domínio
. Vamos usar a expansão em série geométrica para resolvê‐las.
Passo 2
Para a Série de Maclaurin (
): primeiro reescrevemos
Como
multiplicamos:
Agrupando, obtemos
Passo 3
A Série de Maclaurin encontrada é válida para
Passo 4
Para a Série de Laurent (
): escrevemos
E usamos a expansão geométrica em
:
Logo
Passo 5
A Série de Laurent para
é válida no domínio
Resposta
(a) Série de Maclaurin:
(b) Série de Laurent: