Represente a função
f(z)=z+1z-1
por
(a) sua Série de Maclaurin e dê a região de validade desta representação;
(b) sua Série de Laurent para o domínio |z|>1.

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(z)=z+1z-1 em duas séries: a Série de Maclaurin (em torno de z=0) e a Série de Laurent válida para o domínio |z|>1. Vamos usar a expansão em série geométrica para resolvê‐las.

Passo 2

Para a Série de Maclaurin ( |z|<1): primeiro reescrevemos
f(z)=z+1z-1=-z+11-z = -(z+1)cdot 11-z
Como
11-z=sumn=0^inftyz^n, |z|<1,
multiplicamos:
f(z)= -sumn=0^infty(z^n+1+z^n) = -sumn=0^inftyz^n - sumn=1^inftyz^n
Agrupando, obtemos
f(z)=-1 - 2sumn=1^inftyz^n

Passo 3

A Série de Maclaurin encontrada é válida para
|z|<1

Passo 4

Para a Série de Laurent ( |z|>1): escrevemos
f(z)=z+1z-1=1+2z-1 = 1 + 2cdot 1z,(1-1/z)
E usamos a expansão geométrica em 1/z:
11-1/z=sumn=0^inftyz^-n, |1/z|<1 (ie |z|>1)
Logo
f(z)=1 + 2sumn=1^inftyz^-n

Passo 5

A Série de Laurent para f(z) é válida no domínio
|z|>1

Resposta

(a) Série de Maclaurin: f(z)=-1 -2sumn=1^inftyz^n, |z|<1
(b) Série de Laurent: f(z)=1+2sumn=1^inftyz^-n, |z|>1

Exercícios relacionados