Resolva as equaçÔes abaixo. Use um fator integrante para equaçÔes exatas, se preciso.

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos resolver a equação diferencial (2y²−6xy)dx+(3xy−4x²)dy=0 usando teoria de equações exatas e, se necessário, um fator integrante.

Passo 2

Definimos M(x,y)=2y²−6xy e N(x,y)=3xy−4x². Calculamos ∂M/∂y=4y−6x e ∂N/∂x=3y−8x. Como 4y−6x≠3y−8x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante do tipo μ(x,y)=xᵃyᵇ. Exigindo ∂(μM)/∂y=∂(μN)/∂x, obtemos o sistema 2(b+2)=3(a+1) e 6(b+1)=4(a+2). Resolvendo, achamos a=1 e b=1, logo μ=xy.

Passo 4

Multiplicamos a equação por μ=xy. Isso gera
M^*=2x y^3-6x^2y^2, N^*=3x^2y^2-4x^3y
Verificamos ∂M*/∂y=6xy2−12x^2y e ∂N*/∂x=6xy2−12x^2y, confirmando exatidão.

Passo 5

Como agora é exata, existe ψ(x,y) com ψ_x=M^* e ψ_y=N^*. Integramos ψ_x em x:
ψ(x,y)=integral(2x y^3-6x^2y^2),dx = x^2y^3 - 2x^3y^2 + h(y)
Depois diferenciamos em y:
ψy=3x^2y^2-4x^3y+h'(y),
que deve igualar N*=3x2y2−4x3y. Logo h’(y)=0 e h é constante.

Passo 6

A condição ψ(x,y)=C dá a solução geral. Portanto,
x^2y^3 - 2x^3y^2 = C,
ou, fatorando, x2y2(y−2x)=C.

Resposta

x^2y^3 - 2x^3y^2 = C

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