Resolva as equaçÔes abaixo. Use um fator integrante para equaçÔes exatas, se preciso.
Passo 1
Resumindo o enunciado: precisamos resolver a equação diferencial (2y²−6xy)dx+(3xy−4x²)dy=0 usando teoria de equações exatas e, se necessário, um fator integrante.
Passo 2
Definimos M(x,y)=2y²−6xy e N(x,y)=3xy−4x². Calculamos ∂M/∂y=4y−6x e ∂N/∂x=3y−8x. Como 4y−6x≠3y−8x, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante do tipo μ(x,y)=xᵃyᵇ. Exigindo ∂(μM)/∂y=∂(μN)/∂x, obtemos o sistema 2(b+2)=3(a+1) e 6(b+1)=4(a+2). Resolvendo, achamos a=1 e b=1, logo μ=xy.
Passo 4
Multiplicamos a equação por μ=xy. Isso gera
Verificamos ∂M*/∂y=6xy2−12x^2y e ∂N*/∂x=6xy2−12x^2y, confirmando exatidão.
Passo 5
Como agora é exata, existe ψ(x,y) com ψ_x=M^* e ψ_y=N^*. Integramos ψ_x em x:
Depois diferenciamos em y:
que deve igualar N*=3x2y2−4x3y. Logo h’(y)=0 e h é constante.
Passo 6
A condição ψ(x,y)=C dá a solução geral. Portanto,
ou, fatorando, x2y2(y−2x)=C.