Seja
um conjunto compacto e conexo. Seja
contínua.
(0,5 ponto) a) Mostre que
dado por
é contínua.
(1,0 ponto) b) Mostre que o conjunto graf
é conexo e compacto.
(1,0 ponto) c) Seja
um ponto que pertence a imagem de
. Prove que
não é homeomorfo a
.
(0,5 ponto) a) Mostre que
(1,0 ponto) b) Mostre que o conjunto graf
(1,0 ponto) c) Seja
Passo 1
O enunciado diz que
é compacto e conexo e que
é contínua. Definimos
e queremos mostrar que
a) é contínua;
b) o gráfico é conexo e compacto;
c) para cada , o conjunto
não pode ser homeomorfo a
.
Usaremos conceitos de topologia de produto, propriedades de imagens e pré-imagens de aplicações contínuas e a invariância da compacidade sob homeomorfismos.
a)
b) o gráfico
c) para cada
Usaremos conceitos de topologia de produto, propriedades de imagens e pré-imagens de aplicações contínuas e a invariância da compacidade sob homeomorfismos.
Passo 2
Para provar que
é contínua, note que nas projeções canônicas
temos
(que é a identidade em
, logo contínua) e
(que é contínua por hipótese).
Como a topologia produto torna contínua qualquer aplicação cujas composições com as projeções sejam contínuas, conclui-se que é contínua.
Como a topologia produto torna contínua qualquer aplicação cujas composições com as projeções sejam contínuas, conclui-se que
Passo 3
O gráfico de
é exatamente a imagem de
por
:
Como
é compacto e conexo e
é contínua, vale que
– imagem contínua de conjunto compacto é compacto,
– imagem contínua de conjunto conexo é conexo.
Portanto é compacto e conexo.
– imagem contínua de conjunto compacto é compacto,
– imagem contínua de conjunto conexo é conexo.
Portanto
Passo 4
Seja
. Então
é a pré-imagem de
sob
. Como
é fechado em
e
é contínua,
é fechado em
. Mas fechado em compacto é compacto, logo
é compacto.
Por outro lado, não é compacto. Se houvesse homeomorfismo
Por outro lado,
então
seria compacto (imutabilidade da compacidade por homeomorfismo), o que é absurdo. Assim
não pode ser homeomorfo a
.
Resposta
a) A aplicação
é contínua pois suas composições com as projeções canônicas são contínuas.
b) é compacto e conexo, sendo imagem contínua de
.
c) Para , o conjunto
é compacto, mas
não é; portanto não há homeomorfismo entre eles.
b)
c) Para