Seja K subset R^n um conjunto compacto e conexo. Seja f: K R^n contínua.
(0,5 ponto) a) Mostre que varphi: K R^n times R^n dado por varphi(x)=(x, f(x)) é contínua.
(1,0 ponto) b) Mostre que o conjunto graf (f):=(x, f(x)) ; x in K é conexo e compacto.
(1,0 ponto) c) Seja p in R^n um ponto que pertence a imagem de f. Prove que f^-1(p) não é homeomorfo a R^n.

Passo 1

O enunciado diz que KsubsetR^n é compacto e conexo e que f:KtoR^n é contínua. Definimos
varphi:KlongrightarrowR^ntimesR^n, varphi(x)=(x,f(x)),
e queremos mostrar que
a) varphi é contínua;
b) o gráfico graf(f)=varphi(K) é conexo e compacto;
c) para cada pin f(K), o conjunto f^-1(p) não pode ser homeomorfo a R^n.
Usaremos conceitos de topologia de produto, propriedades de imagens e pré-imagens de aplicações contínuas e a invariância da compacidade sob homeomorfismos.

Passo 2

Para provar que varphi é contínua, note que nas projeções canônicas
pi1:R^ntimesR^ntoR^n,pi1(x,y)=x, pi2:R^ntimesR^ntoR^n,pi2(x,y)=y
temos
pi1circvarphi(x)=x (que é a identidade em K, logo contínua) e
pi2circvarphi(x)=f(x) (que é contínua por hipótese).
Como a topologia produto torna contínua qualquer aplicação cujas composições com as projeções sejam contínuas, conclui-se que varphi é contínua.

Passo 3

O gráfico de f é exatamente a imagem de K por varphi:
graf(f)=(x,f(x)):xin K=varphi(K)
Como K é compacto e conexo e varphi é contínua, vale que
– imagem contínua de conjunto compacto é compacto,
– imagem contínua de conjunto conexo é conexo.
Portanto graf(f) é compacto e conexo.

Passo 4

Seja pin f(K). Então
f^-1(p)=,xin K:f(x)=p
é a pré-imagem de p sob f. Como p é fechado em R^n e f é contínua, f^-1(p) é fechado em K. Mas fechado em compacto é compacto, logo f^-1(p) é compacto.
Por outro lado, R^n não é compacto. Se houvesse homeomorfismo
h:f^-1(p),cong,R^n
então R^n seria compacto (imutabilidade da compacidade por homeomorfismo), o que é absurdo. Assim f^-1(p) não pode ser homeomorfo a R^n.

Resposta

a) A aplicação varphi(x)=(x,f(x)) é contínua pois suas composições com as projeções canônicas são contínuas.
b) graf(f)=varphi(K) é compacto e conexo, sendo imagem contínua de K.
c) Para pin f(K), o conjunto f^-1(p) é compacto, mas R^n não é; portanto não há homeomorfismo entre eles.

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