Represente as funções abaixo como série de Taylor ou de Maclaurin em x0 dado e determine 0 intervalo de convergência da série de potências obtida:
f(x)=e^x como série de Taylor com x0=-3

Passo 1

O enunciado pede para representar a função f(x)=e^x como série de Taylor em torno de x0=-3 e, em seguida, determinar o intervalo de convergência dessa série de potências. Vamos usar a definição de série de Taylor para funções infinitamente diferenciáveis.

Passo 2

A fórmula geral da série de Taylor de uma função f em torno de x0 é
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!,(x-x0)^n,
onde f^(n)(x0) é a n-ésima derivada de f avaliada em x0.

Passo 3

Para f(x)=e^x, todas as derivadas são iguais a e^x. Logo, para todo n,
f^(n)(x0)=e^x0=e^-3

Passo 4

Substituindo na fórmula de Taylor com x0=-3, obtemos
e^x=sumn=0^inftye^-3n!,(x-(-3))^n =e^-3sumn=0^infty(x+3)^nn!

Passo 5

Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão em
,an=e^-3(x+3)^nn!:
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x+3|n+1=0<1
para todo x. Portanto a série converge para todo xinR.

Resposta

e^x =e^-3sumn=0^infty(x+3)^nn!,
Intervalo de convergência: (-infty,infty).

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