Represente as funções abaixo como série de Taylor ou de Maclaurin em dado e determine 0 intervalo de convergência da série de potências obtida: como série de Taylor com
Passo 1
O enunciado pede para representar a função como série de Taylor em torno de e, em seguida, determinar o intervalo de convergência dessa série de potências. Vamos usar a definição de série de Taylor para funções infinitamente diferenciáveis.
Passo 2
A fórmula geral da série de Taylor de uma função em torno de é
onde é a -ésima derivada de avaliada em .
Passo 3
Para , todas as derivadas são iguais a . Logo, para todo ,
Passo 4
Substituindo na fórmula de Taylor com , obtemos
Passo 5
Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão em :
para todo x. Portanto a série converge para todo xinR.