Q 11 Determine, se possível, as constantes reais a e/ou b de modo que lim x k f(x) exista, sendo:
f(x)= 3 x^2-5 x-2x-2, & x<2 3-a x-x^2, & x >= 2 [k=2]

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= 3x^2-5x-2x-2, & x<2,[6pt] 3 - a x - x^2, & x>=2,
e pede para escolher a de modo que limxto2f(x) exista.
Para isso, vamos calcular o limite pela esquerda (quando xto2^-) e pela direita (quando xto2^+) e igualar os dois.]

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda:
limxto2^-3x^2-5x-2x-2
Fatoramos o numerador:
3x^2-5x-2 = (3x+1)(x-2),
logo, para xneq2,
3x^2-5x-2x-2 = 3x+1
Portanto,
limxto2^-3x^2-5x-2x-2 = limxto2^-(3x+1) = 3cdot2 + 1 = 7

Passo 3

Calcular o limite pela direita:
limxto2^+l(3 - a x - x^2r)
Como 3 - a x - x^2 é contínua em x=2, basta substituir x=2:
limxto2^+(3 - a x - x^2) = 3 - acdot2 - 2^2 = 3 - 2a - 4 = -2a - 1

Passo 4

Para que limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x), igualamos
7 = -2a - 1
Resolvendo para a:
-2a = 7 + 1 = 8 Longrightarrow a = -4

Resposta

a = -4

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