Exercício 21 (ELJ 99)
Seja
diferenciável não constante. Dado
, mostre que existe
tal que
e
, ou seja,
é um múltiplo de
.
Seja
Passo 1
O enunciado dá uma função diferenciável não constante
e um raio
. Queremos mostrar que existe
com
tal que
seja paralelo a
. Para isso vamos usar o fato de que uma função contínua atinge extremos num conjunto compacto e o método de multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos a esfera de raio
por
Como
é fechado e limitado, ele é compacto em
. A restrição
é contínua, logo atinge valor máximo e mínimo em pelo menos dois pontos de
. Seja
um desses pontos extremos de
.
Passo 3
Para tratar a restrição
usamos a função auxiliar
Como
é extremo de
sob a condição
, pelo método de Lagrange existe
tal que
Passo 4
Observamos que
implica
Portanto, da condição de Lagrange segue
ou seja,
é múltiplo de
, logo
.
Resposta
Tomando
como ponto de máximo ou mínimo de
sobre a esfera
, obtemos
e
paralelo a
, como pedido.