Exercício 21 (ELJ 99)
Seja f: R^n R diferenciável não constante. Dado epsilon>0, mostre que existe p in R^n tal que |p|=epsilon e p | nabla f(p), ou seja, nabla f(p) é um múltiplo de p.

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável não constante f:R^ntoR e um raio epsilon>0. Queremos mostrar que existe pinR^n com |p|=epsilon tal que nabla f(p) seja paralelo a p. Para isso vamos usar o fato de que uma função contínua atinge extremos num conjunto compacto e o método de multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a esfera de raio epsilon por
S = ,xinR^n : |x| = epsilon
Como S é fechado e limitado, ele é compacto em R^n. A restrição
f|S: S to R
é contínua, logo atinge valor máximo e mínimo em pelo menos dois pontos de S. Seja pin S um desses pontos extremos de f|S.

Passo 3

Para tratar a restrição |x|=epsilon usamos a função auxiliar
h(x) = |x|^2 - epsilon^2
Como p é extremo de f sob a condição h(x)=0, pelo método de Lagrange existe lambdainR tal que
nabla f(p) = lambda,nabla h(p)

Passo 4

Observamos que
h(x) = x1^2 + x2^2 + cdots + xn^2 - epsilon^2
implica
nabla h(p) = 2p
Portanto, da condição de Lagrange segue
nabla f(p) = lambda,2p,
ou seja, nabla f(p) é múltiplo de p, logo pparal<=lnabla f(p).

Resposta

Tomando p como ponto de máximo ou mínimo de f sobre a esfera |x|=epsilon, obtemos |p|=epsilon e nabla f(p) paralelo a p, como pedido.

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